HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsel Unicode version

Theorem shsel 21893
Description: Membership in the subspace sum of two Hilbert subspaces. (Contributed by NM, 14-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsel  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( C  e.  ( A  +H  B )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  C  =  ( x  +h  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y

Proof of Theorem shsel
StepHypRef Expression
1 shsval 21891 . . 3  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  +H  B
)  =  (  +h  " ( A  X.  B ) ) )
21eleq2d 2350 . 2  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( C  e.  ( A  +H  B )  <-> 
C  e.  (  +h  " ( A  X.  B ) ) ) )
3 ax-hfvadd 21580 . . . 4  |-  +h  :
( ~H  X.  ~H )
--> ~H
4 ffn 5389 . . . 4  |-  (  +h  : ( ~H  X.  ~H ) --> ~H  ->  +h  Fn  ( ~H  X.  ~H )
)
53, 4ax-mp 8 . . 3  |-  +h  Fn  ( ~H  X.  ~H )
6 shss 21789 . . . 4  |-  ( A  e.  SH  ->  A  C_ 
~H )
7 shss 21789 . . . 4  |-  ( B  e.  SH  ->  B  C_ 
~H )
8 xpss12 4792 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  B  C_ 
~H )  ->  ( A  X.  B )  C_  ( ~H  X.  ~H )
)
96, 7, 8syl2an 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  X.  B
)  C_  ( ~H  X.  ~H ) )
10 ovelimab 5998 . . 3  |-  ( (  +h  Fn  ( ~H 
X.  ~H )  /\  ( A  X.  B )  C_  ( ~H  X.  ~H )
)  ->  ( C  e.  (  +h  " ( A  X.  B ) )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  C  =  ( x  +h  y ) ) )
115, 9, 10sylancr 644 . 2  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( C  e.  (  +h  " ( A  X.  B ) )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  C  =  ( x  +h  y ) ) )
122, 11bitrd 244 1  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( C  e.  ( A  +H  B )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  C  =  ( x  +h  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    C_ wss 3152    X. cxp 4687   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251  (class class class)co 5858   ~Hchil 21499    +h cva 21500   SHcsh 21508    +H cph 21511
This theorem is referenced by:  shsel3  21894  shseli  21895  shscom  21898  shsva  21899  shless  21938  pjhth  21972  pjhtheu  21973  pjpreeq  21977  pjpjpre  21998  chscllem4  22219  sumdmdii  22995  sumdmdlem  22998
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hvcom 21581  ax-hvass 21582  ax-hv0cl 21583  ax-hvaddid 21584  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulid 21586  ax-hvdistr2 21589  ax-hvmul0 21590
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039  df-neg 9040  df-grpo 20858  df-ablo 20949  df-hvsub 21551  df-sh 21786  df-shs 21887
  Copyright terms: Public domain W3C validator