HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shseli Unicode version

Theorem shseli 22775
Description: Membership in subspace sum. (Contributed by NM, 4-May-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shscl.1  |-  A  e.  SH
shscl.2  |-  B  e.  SH
Assertion
Ref Expression
shseli  |-  ( C  e.  ( A  +H  B )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  C  =  ( x  +h  y
) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y

Proof of Theorem shseli
StepHypRef Expression
1 shscl.1 . 2  |-  A  e.  SH
2 shscl.2 . 2  |-  B  e.  SH
3 shsel 22773 . 2  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( C  e.  ( A  +H  B )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  C  =  ( x  +h  y ) ) )
41, 2, 3mp2an 654 1  |-  ( C  e.  ( A  +H  B )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  C  =  ( x  +h  y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2671  (class class class)co 6044    +h cva 22380   SHcsh 22388    +H cph 22391
This theorem is referenced by:  shscli  22776  shunssi  22827  shsleji  22829  shsidmi  22843  shmodsi  22848  chseli  22918  spanuni  23003  spanunsni  23038  5oalem7  23119  pjjsi  23159  cdjreui  23892  cdj3lem2a  23896  cdj3lem2b  23897  cdj3lem3a  23899
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-hilex 22459  ax-hfvadd 22460  ax-hvcom 22461  ax-hvass 22462  ax-hv0cl 22463  ax-hvaddid 22464  ax-hfvmul 22465  ax-hvmulid 22466  ax-hvdistr2 22469  ax-hvmul0 22470
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-riota 6512  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-ltxr 9085  df-sub 9253  df-neg 9254  df-grpo 21736  df-ablo 21827  df-hvsub 22431  df-sh 22666  df-shs 22767
  Copyright terms: Public domain W3C validator