Theorem shselt 9273

Description: Membership in the subspace sum of two Hilbert subspaces.

Assertion

Ref	Expression
shselt	|- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. (A +H B) <-> E.x e. A E.y e. B C = (x +h y)))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C,y

Proof of Theorem shselt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shsumvalt 9272	. . . 4 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (A +H B) = {z e. H~ | E.x e. A E.y e. B z = (x +h y)})
2	1	eleq2d 1544	. . 3 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. (A +H B) <-> C e. {z e. H~ | E.x e. A E.y e. B z = (x +h y)}))
3		eqeq1 1484	. . . . 5 |- (z = C -> (z = (x +h y) <-> C = (x +h y)))
4	3	2rexbidv 1684	. . . 4 |- (z = C -> (E.x e. A E.y e. B z = (x +h y) <-> E.x e. A E.y e. B C = (x +h y)))
5	4	elrab 1908	. . 3 |- (C e. {z e. H~ | E.x e. A E.y e. B z = (x +h y)} <-> (C e. H~ /\ E.x e. A E.y e. B C = (x +h y)))
6	2, 5	syl6bb 538	. 2 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. (A +H B) <-> (C e. H~ /\ E.x e. A E.y e. B C = (x +h y))))
7		shss 9074	. . . . . . 7 |- (A e. SH -> A (_ H~)
8	7	sseld 2070	. . . . . 6 |- (A e. SH -> (x e. A -> x e. H~))
9		shss 9074	. . . . . . 7 |- (B e. SH -> B (_ H~)
10	9	sseld 2070	. . . . . 6 |- (B e. SH -> (y e. B -> y e. H~))
11	8, 10	im2anan9 565	. . . . 5 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> ((x e. A /\ y e. B) -> (x e. H~ /\ y e. H~)))
12		hvaddclt 8877	. . . . . 6 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x +h y) e. H~)
13		eleq1a 1546	. . . . . 6 |- ((x +h y) e. H~ -> (C = (x +h y) -> C e. H~))
14	12, 13	syl 10	. . . . 5 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (C = (x +h y) -> C e. H~))
15	11, 14	syl6 22	. . . 4 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> ((x e. A /\ y e. B) -> (C = (x +h y) -> C e. H~)))
16	15	r19.23advv 1752	. . 3 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (E.x e. A E.y e. B C = (x +h y) -> C e. H~))
17	16	pm4.71rd 641	. 2 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (E.x e. A E.y e. B C = (x +h y) <-> (C e. H~ /\ E.x e. A E.y e. B C = (x +h y))))
18	6, 17	bitr4d 533	1 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. (A +H B) <-> E.x e. A E.y e. B C = (x +h y)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wrex 1649  {crab 1651  (class class class)co 3969  H~chil 8783   +h cva 8784  SHcsh 8792   +H cph 8795

This theorem is referenced by:  shsel3t 9274  shsel 9275  shscomt 9278  shsvat 9279  sumdmdi 10337  sumdmdlem 10340

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-sh 9071  df-shsum 9268

Copyright terms: Public domain