HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shslubi Unicode version

Theorem shslubi 22019
Description: The least upper bound law for Hilbert subspace sum. (Contributed by NM, 15-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shslub.1  |-  A  e.  SH
shslub.2  |-  B  e.  SH
shslub.3  |-  C  e.  SH
Assertion
Ref Expression
shslubi  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  <->  ( A  +H  B )  C_  C
)

Proof of Theorem shslubi
StepHypRef Expression
1 shslub.1 . . . . 5  |-  A  e.  SH
2 shslub.3 . . . . 5  |-  C  e.  SH
3 shslub.2 . . . . 5  |-  B  e.  SH
41, 2, 3shlessi 22011 . . . 4  |-  ( A 
C_  C  ->  ( A  +H  B )  C_  ( C  +H  B
) )
52, 3shscomi 21997 . . . 4  |-  ( C  +H  B )  =  ( B  +H  C
)
64, 5syl6sseq 3258 . . 3  |-  ( A 
C_  C  ->  ( A  +H  B )  C_  ( B  +H  C
) )
73, 2, 2shlessi 22011 . . . 4  |-  ( B 
C_  C  ->  ( B  +H  C )  C_  ( C  +H  C
) )
82shsidmi 22018 . . . 4  |-  ( C  +H  C )  =  C
97, 8syl6sseq 3258 . . 3  |-  ( B 
C_  C  ->  ( B  +H  C )  C_  C )
106, 9sylan9ss 3226 . 2  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( A  +H  B
)  C_  C )
111, 3shsub1i 22006 . . . 4  |-  A  C_  ( A  +H  B
)
12 sstr 3221 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ( A  +H  B )  /\  ( A  +H  B )  C_  C )  ->  A  C_  C )
1311, 12mpan 651 . . 3  |-  ( ( A  +H  B ) 
C_  C  ->  A  C_  C )
143, 1shsub2i 22007 . . . 4  |-  B  C_  ( A  +H  B
)
15 sstr 3221 . . . 4  |-  ( ( B  C_  ( A  +H  B )  /\  ( A  +H  B )  C_  C )  ->  B  C_  C )
1614, 15mpan 651 . . 3  |-  ( ( A  +H  B ) 
C_  C  ->  B  C_  C )
1713, 16jca 518 . 2  |-  ( ( A  +H  B ) 
C_  C  ->  ( A  C_  C  /\  B  C_  C ) )
1810, 17impbii 180 1  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  <->  ( A  +H  B )  C_  C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1701    C_ wss 3186  (class class class)co 5900   SHcsh 21563    +H cph 21566
This theorem is referenced by:  shlesb1i  22020  shsval2i  22021
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-hilex 21634  ax-hfvadd 21635  ax-hvcom 21636  ax-hvass 21637  ax-hv0cl 21638  ax-hvaddid 21639  ax-hfvmul 21640  ax-hvmulid 21641  ax-hvdistr2 21644  ax-hvmul0 21645
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-riota 6346  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-ltxr 8917  df-sub 9084  df-neg 9085  df-grpo 20911  df-ablo 21002  df-hvsub 21606  df-sh 21841  df-shs 21942
  Copyright terms: Public domain W3C validator