HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsubcl Unicode version

Theorem shsubcl 21800
Description: Closure of vector subtraction in a subspace of a Hilbert space. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsubcl  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  H  /\  B  e.  H )  ->  ( A  -h  B
)  e.  H )

Proof of Theorem shsubcl
StepHypRef Expression
1 shss 21789 . . . . . 6  |-  ( H  e.  SH  ->  H  C_ 
~H )
21sseld 3179 . . . . 5  |-  ( H  e.  SH  ->  ( A  e.  H  ->  A  e.  ~H ) )
31sseld 3179 . . . . 5  |-  ( H  e.  SH  ->  ( B  e.  H  ->  B  e.  ~H ) )
42, 3anim12d 546 . . . 4  |-  ( H  e.  SH  ->  (
( A  e.  H  /\  B  e.  H
)  ->  ( A  e.  ~H  /\  B  e. 
~H ) ) )
543impib 1149 . . 3  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  H  /\  B  e.  H )  ->  ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )
)
6 hvsubval 21596 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  -h  B
)  =  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) ) )
75, 6syl 15 . 2  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  H  /\  B  e.  H )  ->  ( A  -h  B
)  =  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) ) )
8 neg1cn 9813 . . . . 5  |-  -u 1  e.  CC
9 shmulcl 21797 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  SH  /\  -u 1  e.  CC  /\  B  e.  H )  ->  ( -u 1  .h  B )  e.  H
)
108, 9mp3an2 1265 . . . 4  |-  ( ( H  e.  SH  /\  B  e.  H )  ->  ( -u 1  .h  B )  e.  H
)
11103adant2 974 . . 3  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  H  /\  B  e.  H )  ->  ( -u 1  .h  B )  e.  H
)
12 shaddcl 21796 . . 3  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  H  /\  ( -u 1  .h  B
)  e.  H )  ->  ( A  +h  ( -u 1  .h  B
) )  e.  H
)
1311, 12syld3an3 1227 . 2  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  H  /\  B  e.  H )  ->  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) )  e.  H )
147, 13eqeltrd 2357 1  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  H  /\  B  e.  H )  ->  ( A  -h  B
)  e.  H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735   1c1 8738   -ucneg 9038   ~Hchil 21499    +h cva 21500    .h csm 21501    -h cmv 21505   SHcsh 21508
This theorem is referenced by:  hhssmetdval  21855  shuni  21879  shsvs  21902  omlsilem  21981  pjoc1i  22010  chscllem2  22217  sumspansn  22228  spansncvi  22231  pjss2i  22259  pjssmii  22260  pjocini  22277  sumdmdii  22995  cdjreui  23012
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hfvmul 21585
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039  df-neg 9040  df-hvsub 21551  df-sh 21786
  Copyright terms: Public domain W3C validator