Theorem shsumvalt 9277

Description: Value of subspace sum of two Hilbert space subspaces. Definition of subspace sum in [Kalmbach] p. 65.

Assertion

Ref	Expression
shsumvalt	|- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (A +H B) = {x e. H~ | E.y e. A E.z e. B x = (y +h z)})

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z

Proof of Theorem shsumvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 8869	. . 3 |- H~ e. V
2	1	rabex 2725	. 2 |- {x e. H~ | E.y e. A E.z e. B x = (y +h z)} e. V
3		rexeq1 1787	. . 3 |- (w = A -> (E.y e. w E.z e. v x = (y +h z) <-> E.y e. A E.z e. v x = (y +h z)))
4	3	rabbisdv 1807	. 2 |- (w = A -> {x e. H~ | E.y e. w E.z e. v x = (y +h z)} = {x e. H~ | E.y e. A E.z e. v x = (y +h z)})
5		rexeq1 1787	. . . 4 |- (v = B -> (E.z e. v x = (y +h z) <-> E.z e. B x = (y +h z)))
6	5	rexbidv 1664	. . 3 |- (v = B -> (E.y e. A E.z e. v x = (y +h z) <-> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z)))
7	6	rabbisdv 1807	. 2 |- (v = B -> {x e. H~ | E.y e. A E.z e. v x = (y +h z)} = {x e. H~ | E.y e. A E.z e. B x = (y +h z)})
8		df-shsum 9273	. 2 |- +H = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. SH /\ v e. SH) /\ u = {x e. H~ | E.y e. w E.z e. v x = (y +h z)})}
9	2, 4, 7, 8	oprabval2 4028	1 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (A +H B) = {x e. H~ | E.y e. A E.z e. B x = (y +h z)})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wrex 1646  {crab 1648  (class class class)co 3963  H~chil 8788   +h cva 8789  SHcsh 8797   +H cph 8800

This theorem is referenced by:  shselt 9278  shscl 9281

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-hilex 8869

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-shsum 9273

Copyright terms: Public domain