HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsupunss Structured version   Unicode version

Theorem shsupunss 22841
Description: The union of a set of subspaces is smaller than its supremum. (Contributed by NM, 26-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsupunss  |-  ( A 
C_  SH  ->  U. A  C_  ( span `  U. A ) )

Proof of Theorem shsupunss
StepHypRef Expression
1 shsspwh 22741 . . . . 5  |-  SH  C_  ~P ~H
2 sstr 3349 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  SH  /\  SH  C_ 
~P ~H )  ->  A  C_  ~P ~H )
31, 2mpan2 653 . . . 4  |-  ( A 
C_  SH  ->  A  C_  ~P ~H )
43unissd 4032 . . 3  |-  ( A 
C_  SH  ->  U. A  C_ 
U. ~P ~H )
5 unipw 4407 . . 3  |-  U. ~P ~H  =  ~H
64, 5syl6sseq 3387 . 2  |-  ( A 
C_  SH  ->  U. A  C_ 
~H )
7 spanss2 22840 . 2  |-  ( U. A  C_  ~H  ->  U. A  C_  ( span `  U. A ) )
86, 7syl 16 1  |-  ( A 
C_  SH  ->  U. A  C_  ( span `  U. A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    C_ wss 3313   ~Pcpw 3792   U.cuni 4008   ` cfv 5447   ~Hchil 22415   SHcsh 22424   spancspn 22428
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-hilex 22495  ax-hfvadd 22496  ax-hv0cl 22499  ax-hfvmul 22501
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-map 7013  df-nn 9994  df-hlim 22468  df-sh 22702  df-ch 22717  df-span 22804
  Copyright terms: Public domain W3C validator