HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsupunss Unicode version

Theorem shsupunss 22690
Description: The union of a set of subspaces is smaller than its supremum. (Contributed by NM, 26-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsupunss  |-  ( A 
C_  SH  ->  U. A  C_  ( span `  U. A ) )

Proof of Theorem shsupunss
StepHypRef Expression
1 shsspwh 22590 . . . . 5  |-  SH  C_  ~P ~H
2 sstr 3293 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  SH  /\  SH  C_ 
~P ~H )  ->  A  C_  ~P ~H )
31, 2mpan2 653 . . . 4  |-  ( A 
C_  SH  ->  A  C_  ~P ~H )
43unissd 3975 . . 3  |-  ( A 
C_  SH  ->  U. A  C_ 
U. ~P ~H )
5 unipw 4349 . . 3  |-  U. ~P ~H  =  ~H
64, 5syl6sseq 3331 . 2  |-  ( A 
C_  SH  ->  U. A  C_ 
~H )
7 spanss2 22689 . 2  |-  ( U. A  C_  ~H  ->  U. A  C_  ( span `  U. A ) )
86, 7syl 16 1  |-  ( A 
C_  SH  ->  U. A  C_  ( span `  U. A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    C_ wss 3257   ~Pcpw 3736   U.cuni 3951   ` cfv 5388   ~Hchil 22264   SHcsh 22273   spancspn 22277
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362  ax-rep 4255  ax-sep 4265  ax-nul 4273  ax-pow 4312  ax-pr 4338  ax-un 4635  ax-cnex 8973  ax-resscn 8974  ax-1cn 8975  ax-icn 8976  ax-addcl 8977  ax-addrcl 8978  ax-mulcl 8979  ax-mulrcl 8980  ax-i2m1 8985  ax-1ne0 8986  ax-rrecex 8989  ax-cnre 8990  ax-hilex 22344  ax-hfvadd 22345  ax-hv0cl 22348  ax-hfvmul 22350
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ne 2546  df-ral 2648  df-rex 2649  df-reu 2650  df-rab 2652  df-v 2895  df-sbc 3099  df-csb 3189  df-dif 3260  df-un 3262  df-in 3264  df-ss 3271  df-pss 3273  df-nul 3566  df-if 3677  df-pw 3738  df-sn 3757  df-pr 3758  df-tp 3759  df-op 3760  df-uni 3952  df-int 3987  df-iun 4031  df-br 4148  df-opab 4202  df-mpt 4203  df-tr 4238  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4438  df-so 4439  df-fr 4476  df-we 4478  df-ord 4519  df-on 4520  df-lim 4521  df-suc 4522  df-om 4780  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5352  df-fun 5390  df-fn 5391  df-f 5392  df-f1 5393  df-fo 5394  df-f1o 5395  df-fv 5396  df-ov 6017  df-oprab 6018  df-mpt2 6019  df-recs 6563  df-rdg 6598  df-map 6950  df-nn 9927  df-hlim 22317  df-sh 22551  df-ch 22566  df-span 22653
  Copyright terms: Public domain W3C validator