HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsval2i Structured version   Unicode version

Theorem shsval2i 22889
Description: An alternate way to express subspace sum. (Contributed by NM, 25-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shlesb1.1  |-  A  e.  SH
shlesb1.2  |-  B  e.  SH
Assertion
Ref Expression
shsval2i  |-  ( A  +H  B )  = 
|^| { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem shsval2i
StepHypRef Expression
1 ssun1 3510 . . . . 5  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
2 ssintub 4068 . . . . 5  |-  ( A  u.  B )  C_  |^|
{ x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }
31, 2sstri 3357 . . . 4  |-  A  C_  |^|
{ x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }
4 ssun2 3511 . . . . 5  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
54, 2sstri 3357 . . . 4  |-  B  C_  |^|
{ x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }
63, 5pm3.2i 442 . . 3  |-  ( A 
C_  |^| { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  /\  B  C_  |^|
{ x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x } )
7 shlesb1.1 . . . 4  |-  A  e.  SH
8 shlesb1.2 . . . 4  |-  B  e.  SH
9 ssrab2 3428 . . . . 5  |-  { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  C_  SH
107, 8shscli 22819 . . . . . . 7  |-  ( A  +H  B )  e.  SH
117, 8shunssi 22870 . . . . . . 7  |-  ( A  u.  B )  C_  ( A  +H  B
)
12 sseq2 3370 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( A  +H  B )  ->  (
( A  u.  B
)  C_  x  <->  ( A  u.  B )  C_  ( A  +H  B ) ) )
1312rspcev 3052 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  +H  B
)  e.  SH  /\  ( A  u.  B
)  C_  ( A  +H  B ) )  ->  E. x  e.  SH  ( A  u.  B
)  C_  x )
1410, 11, 13mp2an 654 . . . . . 6  |-  E. x  e.  SH  ( A  u.  B )  C_  x
15 rabn0 3647 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  SH  | 
( A  u.  B
)  C_  x }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  SH  ( A  u.  B
)  C_  x )
1614, 15mpbir 201 . . . . 5  |-  { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  =/=  (/)
17 shintcl 22832 . . . . 5  |-  ( ( { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  C_  SH  /\  {
x  e.  SH  | 
( A  u.  B
)  C_  x }  =/=  (/) )  ->  |^| { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  e.  SH )
189, 16, 17mp2an 654 . . . 4  |-  |^| { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  e.  SH
197, 8, 18shslubi 22887 . . 3  |-  ( ( A  C_  |^| { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  /\  B  C_  |^|
{ x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x } )  <->  ( A  +H  B )  C_  |^| { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x } )
206, 19mpbi 200 . 2  |-  ( A  +H  B )  C_  |^|
{ x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }
2112elrab 3092 . . . 4  |-  ( ( A  +H  B )  e.  { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  <->  ( ( A  +H  B )  e.  SH  /\  ( A  u.  B )  C_  ( A  +H  B
) ) )
2210, 11, 21mpbir2an 887 . . 3  |-  ( A  +H  B )  e. 
{ x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }
23 intss1 4065 . . 3  |-  ( ( A  +H  B )  e.  { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  ->  |^| { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  C_  ( A  +H  B ) )
2422, 23ax-mp 8 . 2  |-  |^| { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  C_  ( A  +H  B )
2520, 24eqssi 3364 1  |-  ( A  +H  B )  = 
|^| { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   E.wrex 2706   {crab 2709    u. cun 3318    C_ wss 3320   (/)c0 3628   |^|cint 4050  (class class class)co 6081   SHcsh 22431    +H cph 22434
This theorem is referenced by:  shsval3i  22890
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070  ax-hilex 22502  ax-hfvadd 22503  ax-hvcom 22504  ax-hvass 22505  ax-hv0cl 22506  ax-hvaddid 22507  ax-hfvmul 22508  ax-hvmulid 22509  ax-hvmulass 22510  ax-hvdistr1 22511  ax-hvdistr2 22512  ax-hvmul0 22513  ax-hfi 22581  ax-his1 22584  ax-his2 22585  ax-his3 22586  ax-his4 22587
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-icc 10923  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-lm 17293  df-haus 17379  df-grpo 21779  df-gid 21780  df-ginv 21781  df-gdiv 21782  df-ablo 21870  df-vc 22025  df-nv 22071  df-va 22074  df-ba 22075  df-sm 22076  df-0v 22077  df-vs 22078  df-nmcv 22079  df-ims 22080  df-hnorm 22471  df-hvsub 22474  df-hlim 22475  df-sh 22709  df-ch 22724  df-ch0 22755  df-shs 22810
  Copyright terms: Public domain W3C validator