Theorem shunss 9337

Description: Union is smaller than subspace sum.

Hypotheses

Ref	Expression
shincl.1	|- A e. SH
shincl.2	|- B e. SH

Assertion

Ref	Expression
shunss	|- (A u. B) (_ (A +H B)

Proof of Theorem shunss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shincl.1	. . . . . . 7 |- A e. SH
2	1	shel 9082	. . . . . 6 |- (x e. A -> x e. H~)
3		ax-hvaddid 8874	. . . . . . 7 |- (x e. H~ -> (x +h 0h) = x)
4	3	eqcomd 1480	. . . . . 6 |- (x e. H~ -> x = (x +h 0h))
5	2, 4	syl 10	. . . . 5 |- (x e. A -> x = (x +h 0h))
6		shincl.2	. . . . . . 7 |- B e. SH
7		sh0 9084	. . . . . . 7 |- (B e. SH -> 0h e. B)
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . . 6 |- 0h e. B
9		rcla4eopr 3990	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ 0h e. B /\ x = (x +h 0h)) -> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
10	8, 9	mp3an2 904	. . . . 5 |- ((x e. A /\ x = (x +h 0h)) -> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
11	5, 10	mpdan 704	. . . 4 |- (x e. A -> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
12	6	shel 9082	. . . . . 6 |- (x e. B -> x e. H~)
13		hvaddid2t 8892	. . . . . . 7 |- (x e. H~ -> (0h +h x) = x)
14	13	eqcomd 1480	. . . . . 6 |- (x e. H~ -> x = (0h +h x))
15	12, 14	syl 10	. . . . 5 |- (x e. B -> x = (0h +h x))
16		sh0 9084	. . . . . . 7 |- (A e. SH -> 0h e. A)
17	1, 16	ax-mp 7	. . . . . 6 |- 0h e. A
18		rcla4eopr 3990	. . . . . 6 |- ((0h e. A /\ x e. B /\ x = (0h +h x)) -> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
19	17, 18	mp3an1 903	. . . . 5 |- ((x e. B /\ x = (0h +h x)) -> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
20	15, 19	mpdan 704	. . . 4 |- (x e. B -> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
21	11, 20	jaoi 341	. . 3 |- ((x e. A \/ x e. B) -> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
22		elun 2173	. . 3 |- (x e. (A u. B) <-> (x e. A \/ x e. B))
23	1, 6	shsel 9280	. . 3 |- (x e. (A +H B) <-> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
24	21, 22, 23	3imtr4 219	. 2 |- (x e. (A u. B) -> x e. (A +H B))
25	24	ssriv 2069	1 |- (A u. B) (_ (A +H B)

Syntax hints:   \/ wo 222   = wceq 956   e. wcel 958  E.wrex 1646   u. cun 2045   (_ wss 2047  (class class class)co 3963  H~chil 8788   +h cva 8789  0hc0v 8791  SHcsh 8797   +H cph 8800

This theorem is referenced by:  shunssj 9339  shsumval2 9360  shjshs 9415  spanun 9467  osum 9586

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hvcom 8871  ax-hv0cl 8873  ax-hvaddid 8874

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-sh 9076  df-shsum 9273

Copyright terms: Public domain