HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shunssi Unicode version

Theorem shunssi 21947
Description: Union is smaller than subspace sum. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shincl.1  |-  A  e.  SH
shincl.2  |-  B  e.  SH
Assertion
Ref Expression
shunssi  |-  ( A  u.  B )  C_  ( A  +H  B
)

Proof of Theorem shunssi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shincl.1 . . . . . . 7  |-  A  e.  SH
21sheli 21793 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  ~H )
3 ax-hvaddid 21584 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
x  +h  0h )  =  x )
43eqcomd 2288 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  x  =  ( x  +h  0h ) )
52, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  x  =  ( x  +h  0h ) )
6 shincl.2 . . . . . . 7  |-  B  e.  SH
7 sh0 21795 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  SH  ->  0h  e.  B )
86, 7ax-mp 8 . . . . . 6  |-  0h  e.  B
9 rspceov 5893 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  0h  e.  B  /\  x  =  ( x  +h  0h ) )  ->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z
) )
108, 9mp3an2 1265 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  =  ( x  +h  0h ) )  ->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z ) )
115, 10mpdan 649 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z
) )
126sheli 21793 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  ~H )
13 hvaddid2 21602 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( 0h  +h  x )  =  x )
1413eqcomd 2288 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  x  =  ( 0h  +h  x ) )
1512, 14syl 15 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  ->  x  =  ( 0h  +h  x ) )
16 sh0 21795 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  SH  ->  0h  e.  A )
171, 16ax-mp 8 . . . . . 6  |-  0h  e.  A
18 rspceov 5893 . . . . . 6  |-  ( ( 0h  e.  A  /\  x  e.  B  /\  x  =  ( 0h  +h  x ) )  ->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z ) )
1917, 18mp3an1 1264 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  =  ( 0h  +h  x ) )  ->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z ) )
2015, 19mpdan 649 . . . 4  |-  ( x  e.  B  ->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z
) )
2111, 20jaoi 368 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  ->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z ) )
22 elun 3316 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
231, 6shseli 21895 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  +H  B )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z
) )
2421, 22, 233imtr4i 257 . 2  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  ->  x  e.  ( A  +H  B
) )
2524ssriv 3184 1  |-  ( A  u.  B )  C_  ( A  +H  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    \/ wo 357    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    u. cun 3150    C_ wss 3152  (class class class)co 5858   ~Hchil 21499    +h cva 21500   0hc0v 21504   SHcsh 21508    +H cph 21511
This theorem is referenced by:  shsval2i  21966  shjshsi  22071  spanuni  22123
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hvcom 21581  ax-hvass 21582  ax-hv0cl 21583  ax-hvaddid 21584  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulid 21586  ax-hvdistr2 21589  ax-hvmul0 21590
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039  df-neg 9040  df-grpo 20858  df-ablo 20949  df-hvsub 21551  df-sh 21786  df-shs 21887
  Copyright terms: Public domain W3C validator