HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shunssi Unicode version

Theorem shunssi 22720
Description: Union is smaller than subspace sum. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shincl.1  |-  A  e.  SH
shincl.2  |-  B  e.  SH
Assertion
Ref Expression
shunssi  |-  ( A  u.  B )  C_  ( A  +H  B
)

Proof of Theorem shunssi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shincl.1 . . . . . . 7  |-  A  e.  SH
21sheli 22566 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  ~H )
3 ax-hvaddid 22357 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
x  +h  0h )  =  x )
43eqcomd 2394 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  x  =  ( x  +h  0h ) )
52, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  x  =  ( x  +h  0h ) )
6 shincl.2 . . . . . . 7  |-  B  e.  SH
7 sh0 22568 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  SH  ->  0h  e.  B )
86, 7ax-mp 8 . . . . . 6  |-  0h  e.  B
9 rspceov 6057 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  0h  e.  B  /\  x  =  ( x  +h  0h ) )  ->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z
) )
108, 9mp3an2 1267 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  =  ( x  +h  0h ) )  ->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z ) )
115, 10mpdan 650 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z
) )
126sheli 22566 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  ~H )
13 hvaddid2 22375 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( 0h  +h  x )  =  x )
1413eqcomd 2394 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  x  =  ( 0h  +h  x ) )
1512, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  ->  x  =  ( 0h  +h  x ) )
16 sh0 22568 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  SH  ->  0h  e.  A )
171, 16ax-mp 8 . . . . . 6  |-  0h  e.  A
18 rspceov 6057 . . . . . 6  |-  ( ( 0h  e.  A  /\  x  e.  B  /\  x  =  ( 0h  +h  x ) )  ->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z ) )
1917, 18mp3an1 1266 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  =  ( 0h  +h  x ) )  ->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z ) )
2015, 19mpdan 650 . . . 4  |-  ( x  e.  B  ->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z
) )
2111, 20jaoi 369 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  ->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z ) )
22 elun 3433 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
231, 6shseli 22668 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  +H  B )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z
) )
2421, 22, 233imtr4i 258 . 2  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  ->  x  e.  ( A  +H  B
) )
2524ssriv 3297 1  |-  ( A  u.  B )  C_  ( A  +H  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    \/ wo 358    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2652    u. cun 3263    C_ wss 3265  (class class class)co 6022   ~Hchil 22272    +h cva 22273   0hc0v 22277   SHcsh 22281    +H cph 22284
This theorem is referenced by:  shsval2i  22739  shjshsi  22844  spanuni  22896
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-hilex 22352  ax-hfvadd 22353  ax-hvcom 22354  ax-hvass 22355  ax-hv0cl 22356  ax-hvaddid 22357  ax-hfvmul 22358  ax-hvmulid 22359  ax-hvdistr2 22362  ax-hvmul0 22363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-riota 6487  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-ltxr 9060  df-sub 9227  df-neg 9228  df-grpo 21629  df-ablo 21720  df-hvsub 22324  df-sh 22559  df-shs 22660
  Copyright terms: Public domain W3C validator