HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shunssji Unicode version

Theorem shunssji 22062
Description: Union is smaller than Hilbert lattice join. (Contributed by NM, 11-Jun-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shincl.1  |-  A  e.  SH
shincl.2  |-  B  e.  SH
Assertion
Ref Expression
shunssji  |-  ( A  u.  B )  C_  ( A  vH  B )

Proof of Theorem shunssji
StepHypRef Expression
1 shincl.1 . . . . 5  |-  A  e.  SH
21shssii 21906 . . . 4  |-  A  C_  ~H
3 shincl.2 . . . . 5  |-  B  e.  SH
43shssii 21906 . . . 4  |-  B  C_  ~H
52, 4unssi 3426 . . 3  |-  ( A  u.  B )  C_  ~H
6 ococss 21986 . . 3  |-  ( ( A  u.  B ) 
C_  ~H  ->  ( A  u.  B )  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  ( A  u.  B
) ) ) )
75, 6ax-mp 8 . 2  |-  ( A  u.  B )  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  ( A  u.  B
) ) )
8 shjval 22044 . . 3  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  vH  B
)  =  ( _|_ `  ( _|_ `  ( A  u.  B )
) ) )
91, 3, 8mp2an 653 . 2  |-  ( A  vH  B )  =  ( _|_ `  ( _|_ `  ( A  u.  B ) ) )
107, 9sseqtr4i 3287 1  |-  ( A  u.  B )  C_  ( A  vH  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1642    e. wcel 1710    u. cun 3226    C_ wss 3228   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   ~Hchil 21613   SHcsh 21622   _|_cort 21624    vH chj 21627
This theorem is referenced by:  shsleji  22063  chunssji  22160
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-hilex 21693  ax-hfvadd 21694  ax-hv0cl 21697  ax-hfvmul 21699  ax-hvmul0 21704  ax-hfi 21772  ax-his1 21775  ax-his2 21776  ax-his3 21777
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-riota 6391  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-2 9894  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sh 21900  df-oc 21945  df-chj 22003
  Copyright terms: Public domain W3C validator