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Theorem sigadd 25649
Description: Functionality of vector addition. (Contributed by FL, 29-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
sigadd.1  |-  + w  =  (  + cv `  N )
Assertion
Ref Expression
sigadd  |-  ( N  e.  NN  ->  + w : ( ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  X.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) --> ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )

Proof of Theorem sigadd
Dummy variables  u  n  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 8818 . . . . . . . . 9  |-  CC  e.  _V
2 ovex 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
31, 2elmap 6796 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  <->  u :
( 1 ... N
) --> CC )
41, 2elmap 6796 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  <->  v :
( 1 ... N
) --> CC )
5 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u : ( 1 ... N ) --> CC 
/\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( u `  x )  e.  CC )
6 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v : ( 1 ... N ) --> CC 
/\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( v `  x )  e.  CC )
7 addcl 8819 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( u `  x
)  e.  CC  /\  ( v `  x
)  e.  CC )  ->  ( ( u `
 x )  +  ( v `  x
) )  e.  CC )
85, 6, 7syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( u : ( 1 ... N ) --> CC  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
v : ( 1 ... N ) --> CC 
/\  x  e.  ( 1 ... N ) ) )  ->  (
( u `  x
)  +  ( v `
 x ) )  e.  CC )
98an42s 800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( u : ( 1 ... N ) --> CC  /\  v : ( 1 ... N
) --> CC )  /\  ( x  e.  (
1 ... N )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( (
u `  x )  +  ( v `  x ) )  e.  CC )
109ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u : ( 1 ... N ) --> CC 
/\  v : ( 1 ... N ) --> CC )  ->  (
( x  e.  ( 1 ... N )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
u `  x )  +  ( v `  x ) )  e.  CC ) )
1110exp3acom3r 1360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  ->  (
x  e.  ( 1 ... N )  -> 
( ( u : ( 1 ... N
) --> CC  /\  v : ( 1 ... N ) --> CC )  ->  ( ( u `
 x )  +  ( v `  x
) )  e.  CC ) ) )
1211pm2.43i 43 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( u : ( 1 ... N ) --> CC  /\  v : ( 1 ... N
) --> CC )  -> 
( ( u `  x )  +  ( v `  x ) )  e.  CC ) )
1312com12 27 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u : ( 1 ... N ) --> CC 
/\  v : ( 1 ... N ) --> CC )  ->  (
x  e.  ( 1 ... N )  -> 
( ( u `  x )  +  ( v `  x ) )  e.  CC ) )
1413ralrimiv 2625 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u : ( 1 ... N ) --> CC 
/\  v : ( 1 ... N ) --> CC )  ->  A. x  e.  ( 1 ... N
) ( ( u `
 x )  +  ( v `  x
) )  e.  CC )
1514a1d 22 . . . . . . . 8  |-  ( ( u : ( 1 ... N ) --> CC 
/\  v : ( 1 ... N ) --> CC )  ->  ( N  e.  NN  ->  A. x  e.  ( 1 ... N ) ( ( u `  x
)  +  ( v `
 x ) )  e.  CC ) )
163, 4, 15syl2anb 465 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( N  e.  NN  ->  A. x  e.  ( 1 ... N ) ( ( u `  x )  +  ( v `  x ) )  e.  CC ) )
1716impcom 419 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  A. x  e.  ( 1 ... N ) ( ( u `  x )  +  ( v `  x ) )  e.  CC )
18 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( u `  x )  +  ( v `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( u `
 x )  +  ( v `  x
) ) )
1918fmpt 5681 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... N ) ( ( u `  x
)  +  ( v `
 x ) )  e.  CC  <->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( u `
 x )  +  ( v `  x
) ) ) : ( 1 ... N
) --> CC )
2017, 19sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( u `
 x )  +  ( v `  x
) ) ) : ( 1 ... N
) --> CC )
212a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( 1 ... N )  e.  _V )
22 elmapg 6785 . . . . . 6  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( u `
 x )  +  ( v `  x
) ) )  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  <-> 
( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( u `  x )  +  ( v `  x ) ) ) : ( 1 ... N ) --> CC ) )
231, 21, 22sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( u `  x )  +  ( v `  x ) ) )  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  <->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( u `
 x )  +  ( v `  x
) ) ) : ( 1 ... N
) --> CC ) )
2420, 23mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( u `
 x )  +  ( v `  x
) ) )  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
2524ralrimivva 2635 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  A. u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) A. v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( u `  x )  +  ( v `  x ) ) )  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )
26 eqid 2283 . . . 4  |-  ( u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ,  v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( u `  x )  +  ( v `  x ) ) ) )  =  ( u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ,  v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( u `  x )  +  ( v `  x ) ) ) )
2726fmpt2 6191 . . 3  |-  ( A. u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) A. v  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( u `  x )  +  ( v `  x ) ) )  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  <-> 
( u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ,  v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( u `  x )  +  ( v `  x ) ) ) ) : ( ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  X.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) --> ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
2825, 27sylib 188 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
u  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ,  v  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( u `  x
)  +  ( v `
 x ) ) ) ) : ( ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  X.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) --> ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )
29 sigadd.1 . . . 4  |-  + w  =  (  + cv `  N )
30 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  e. 
_V
3130, 30pm3.2i 441 . . . . . 6  |-  ( ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  e.  _V  /\  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  e. 
_V )
32 mpt2exga 6197 . . . . . 6  |-  ( ( ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  e.  _V  /\  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  e. 
_V )  ->  (
u  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ,  v  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( u `  x
)  +  ( v `
 x ) ) ) )  e.  _V )
3331, 32mp1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
u  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ,  v  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( u `  x
)  +  ( v `
 x ) ) ) )  e.  _V )
34 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... N
) )
3534oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  ( CC  ^m  ( 1 ... n ) )  =  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
36 mpteq1 4100 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... n )  =  ( 1 ... N )  ->  (
x  e.  ( 1 ... n )  |->  ( ( u `  x
)  +  ( v `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( u `  x )  +  ( v `  x ) ) ) )
3734, 36syl 15 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
x  e.  ( 1 ... n )  |->  ( ( u `  x
)  +  ( v `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( u `  x )  +  ( v `  x ) ) ) )
3835, 35, 37mpt2eq123dv 5910 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
u  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... n ) ) ,  v  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... n ) )  |->  ( x  e.  ( 1 ... n )  |->  ( ( u `  x
)  +  ( v `
 x ) ) ) )  =  ( u  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ,  v  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( u `  x
)  +  ( v `
 x ) ) ) ) )
39 df-addcv 25645 . . . . . 6  |-  + cv  =  ( n  e.  NN  |->  ( u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... n ) ) ,  v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... n ) ) 
|->  ( x  e.  ( 1 ... n ) 
|->  ( ( u `  x )  +  ( v `  x ) ) ) ) )
4038, 39fvmptg 5600 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ,  v  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( u `  x
)  +  ( v `
 x ) ) ) )  e.  _V )  ->  (  + cv `  N )  =  ( u  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ,  v  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( u `  x
)  +  ( v `
 x ) ) ) ) )
4133, 40mpdan 649 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (  + cv `  N )  =  ( u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ,  v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( u `  x )  +  ( v `  x ) ) ) ) )
4229, 41syl5eq 2327 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  + w  =  ( u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ,  v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( u `  x )  +  ( v `  x ) ) ) ) )
4342feq1d 5379 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( + w : ( ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  X.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) --> ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  <-> 
( u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ,  v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( u `  x )  +  ( v `  x ) ) ) ) : ( ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  X.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) --> ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )
4428, 43mpbird 223 1  |-  ( N  e.  NN  ->  + w : ( ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  X.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) --> ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860    ^m cmap 6772   CCcc 8735   1c1 8738    + caddc 8740   NNcn 9746   ...cfz 10782    + cvcplcv 25644
This theorem is referenced by:  vecaddonto  25659  tcnvec  25690
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-addcl 8797
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-addcv 25645
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