Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigarcol Structured version   Unicode version

Theorem sigarcol 27821
 Description: Given three points , and such that , the point lies on the line going through and iff the corresponding signed area is zero. That justifies the usage of signed area as a collinearity indicator. (Contributed by Saveliy Skresanov, 22-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sigarcol.sigar
sigarcol.a
sigarcol.b
Assertion
Ref Expression
sigarcol
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem sigarcol
StepHypRef Expression
1 sigarcol.sigar . . . . 5
2 sigarcol.a . . . . . . . 8
32simp2d 970 . . . . . . 7
42simp3d 971 . . . . . . 7
52simp1d 969 . . . . . . 7
63, 4, 53jca 1134 . . . . . 6
76adantr 452 . . . . 5
8 sigarcol.b . . . . . 6
98adantr 452 . . . . 5
101sigarperm 27817 . . . . . . . . 9
112, 10syl 16 . . . . . . . 8
121sigarperm 27817 . . . . . . . . 9
136, 12syl 16 . . . . . . . 8
1411, 13eqtrd 2467 . . . . . . 7
1514eqeq1d 2443 . . . . . 6
1615biimpa 471 . . . . 5
171, 7, 9, 16sigardiv 27818 . . . 4
184, 3subcld 9403 . . . . . . . 8
1918adantr 452 . . . . . . 7
205, 3subcld 9403 . . . . . . . 8
2120adantr 452 . . . . . . 7
225adantr 452 . . . . . . . 8
233adantr 452 . . . . . . . 8
249neneqad 2668 . . . . . . . 8
2522, 23, 24subne0d 9412 . . . . . . 7
2619, 21, 25divcan1d 9783 . . . . . 6
2726oveq2d 6089 . . . . 5
284adantr 452 . . . . . 6
2923, 28pncan3d 9406 . . . . 5
3027, 29eqtr2d 2468 . . . 4
31 oveq1 6080 . . . . . . 7
3231oveq2d 6089 . . . . . 6
3332eqeq2d 2446 . . . . 5
3433rspcev 3044 . . . 4
3517, 30, 34syl2anc 643 . . 3
3635ex 424 . 2
37143ad2ant1 978 . . . 4
38 simp3 959 . . . . . . . 8
3938oveq1d 6088 . . . . . . 7
4033ad2ant1 978 . . . . . . . 8
41 simp2 958 . . . . . . . . . 10
4241recnd 9106 . . . . . . . . 9
4353ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10
4443, 40subcld 9403 . . . . . . . . 9
4542, 44mulcld 9100 . . . . . . . 8
4640, 45pncan2d 9405 . . . . . . 7
4739, 46eqtrd 2467 . . . . . 6
4847oveq1d 6088 . . . . 5
4942, 44mulcomd 9101 . . . . . 6
5049oveq1d 6088 . . . . 5
5148, 50eqtrd 2467 . . . 4
5244, 42mulcld 9100 . . . . . 6
531sigarac 27809 . . . . . 6
5452, 44, 53syl2anc 643 . . . . 5
551sigarls 27814 . . . . . . . 8
5644, 44, 41, 55syl3anc 1184 . . . . . . 7
571sigarid 27815 . . . . . . . . 9
5844, 57syl 16 . . . . . . . 8
5958oveq1d 6088 . . . . . . 7
6042mul02d 9256 . . . . . . 7
6156, 59, 603eqtrd 2471 . . . . . 6
6261negeqd 9292 . . . . 5
63 neg0 9339 . . . . . 6
6463a1i 11 . . . . 5
6554, 62, 643eqtrd 2471 . . . 4
6637, 51, 653eqtrd 2471 . . 3
6766rexlimdv3a 2824 . 2
6836, 67impbid 184 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2698  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  cc 8980  cr 8981  cc0 8982   caddc 8985   cmul 8987   cmin 9283  cneg 9284   cdiv 9669  ccj 11893  cim 11895 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-2 10050  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898
 Copyright terms: Public domain W3C validator