Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigardiv Structured version   Unicode version

Theorem sigardiv 27827
 Description: If signed area between vectors and is zero, then those vectors lie on the same line. (Contributed by Saveliy Skresanov, 22-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sigar
sigardiv.a
sigardiv.b
sigardiv.c
Assertion
Ref Expression
sigardiv
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem sigardiv
StepHypRef Expression
1 sigardiv.a . . . . . . . 8
21simp2d 970 . . . . . . 7
31simp1d 969 . . . . . . 7
42, 3subcld 9411 . . . . . 6
51simp3d 971 . . . . . . 7
65, 3subcld 9411 . . . . . 6
7 sigardiv.b . . . . . . . 8
87neneqad 2674 . . . . . . 7
95, 3, 8subne0d 9420 . . . . . 6
104, 6, 9cjdivd 12028 . . . . 5
114cjcld 12001 . . . . . . 7
126cjcld 12001 . . . . . . 7
136, 9cjne0d 12008 . . . . . . 7
1411, 12, 6, 13, 9divcan5rd 9817 . . . . . 6
1511, 6mulcld 9108 . . . . . . . 8
16 sigar . . . . . . . . . . 11
1716sigarval 27816 . . . . . . . . . 10
184, 6, 17syl2anc 643 . . . . . . . . 9
19 sigardiv.c . . . . . . . . 9
2018, 19eqtr3d 2470 . . . . . . . 8
2115, 20reim0bd 12005 . . . . . . 7
226, 12mulcomd 9109 . . . . . . . 8
236cjmulrcld 12011 . . . . . . . 8
2422, 23eqeltrrd 2511 . . . . . . 7
2512, 6, 13, 9mulne0d 9674 . . . . . . 7
2621, 24, 25redivcld 9842 . . . . . 6
2714, 26eqeltrrd 2511 . . . . 5
2810, 27eqeltrd 2510 . . . 4
2928cjred 12031 . . 3
304, 6, 9divcld 9790 . . . 4
3130cjcjd 12004 . . 3
3229, 31eqtr3d 2470 . 2
3332, 28eqeltrrd 2511 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmpt2 6083  cc 8988  cr 8989  cc0 8990   cmul 8995   cmin 9291   cdiv 9677  ccj 11901  cim 11903 This theorem is referenced by:  sigarcol  27830  sharhght  27831 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-2 10058  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906
 Copyright terms: Public domain W3C validator