Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigarperm Structured version   Unicode version

Theorem sigarperm 27826
 Description: Signed area acts as a double area of a triangle . Here we prove that cyclically permuting the vertices doesn't change the area. (Contributed by Saveliy Skresanov, 20-Sep-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
sigar
Assertion
Ref Expression
sigarperm
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem sigarperm
StepHypRef Expression
1 simp2 958 . . . . . 6
2 simp3 959 . . . . . 6
3 sigar . . . . . . . 8
43sigarim 27817 . . . . . . 7
54recnd 9114 . . . . . 6
61, 2, 5syl2anc 643 . . . . 5
7 simp1 957 . . . . . 6
83sigarim 27817 . . . . . . 7
98recnd 9114 . . . . . 6
101, 7, 9syl2anc 643 . . . . 5
116, 10negsubd 9417 . . . 4
123sigarac 27818 . . . . . . 7
137, 1, 12syl2anc 643 . . . . . 6
1413eqcomd 2441 . . . . 5
1514oveq2d 6097 . . . 4
1611, 15eqtr3d 2470 . . 3
1716oveq1d 6096 . 2
183sigarexp 27825 . . 3
19183comr 1161 . 2
203sigarexp 27825 . . 3
213sigarim 27817 . . . . . 6
227, 1, 21syl2anc 643 . . . . 5
2322recnd 9114 . . . 4
243sigarim 27817 . . . . . 6
257, 2, 24syl2anc 643 . . . . 5
2625recnd 9114 . . . 4
273sigarim 27817 . . . . . 6
282, 1, 27syl2anc 643 . . . . 5
2928recnd 9114 . . . 4
3023, 26, 29sub32d 9443 . . 3
316, 23addcomd 9268 . . . . 5
323sigarac 27818 . . . . . . . 8
331, 2, 32syl2anc 643 . . . . . . 7
3433eqcomd 2441 . . . . . 6
3534oveq2d 6097 . . . . 5
3623, 29negsubd 9417 . . . . 5
3731, 35, 363eqtr2rd 2475 . . . 4
3837oveq1d 6096 . . 3
3920, 30, 383eqtrd 2472 . 2
4017, 19, 393eqtr4rd 2479 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmpt2 6083  cc 8988  cr 8989   caddc 8993   cmul 8995   cmin 9291  cneg 9292  ccj 11901  cim 11903 This theorem is referenced by:  sigarcol  27830  sharhght  27831  sigaradd  27832  cevathlem2  27834 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-2 10058  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906
 Copyright terms: Public domain W3C validator