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Theorem siilem1 21537
Description: Lemma for sii 21540. (Contributed by NM, 23-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
siii.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
siii.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
siii.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
siii.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
siii.a  |-  A  e.  X
siii.b  |-  B  e.  X
sii1.3  |-  M  =  ( -v `  U
)
sii1.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
sii1.c  |-  C  e.  CC
sii1.r  |-  ( C  x.  ( A P B ) )  e.  RR
sii1.z  |-  0  <_  ( C  x.  ( A P B ) )
Assertion
Ref Expression
siilem1  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  ( sqr `  ( ( A P B )  x.  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) )  <_ 
( ( N `  A )  x.  ( N `  B )
) )

Proof of Theorem siilem1
StepHypRef Expression
1 siii.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 siii.6 . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( normCV `  U )
3 siii.9 . . . . . . . . . . 11  |-  U  e.  CPreHil
OLD
43phnvi 21502 . . . . . . . . . 10  |-  U  e.  NrmCVec
5 siii.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  e.  X
6 sii1.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  e.  CC
76cjcli 11744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( * `
 C )  e.  CC
8 siii.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  e.  X
9 sii1.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
101, 9nvscl 21292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
* `  C )  e.  CC  /\  B  e.  X )  ->  (
( * `  C
) S B )  e.  X )
114, 7, 8, 10mp3an 1277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( * `  C ) S B )  e.  X
12 sii1.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  M  =  ( -v `  U
)
131, 12nvmcl 21313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  (
( * `  C
) S B )  e.  X )  -> 
( A M ( ( * `  C
) S B ) )  e.  X )
144, 5, 11, 13mp3an 1277 . . . . . . . . . 10  |-  ( A M ( ( * `
 C ) S B ) )  e.  X
151, 2, 4, 14nvcli 21334 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) )  e.  RR
1615sqge0i 11281 . . . . . . . 8  |-  0  <_  ( ( N `  ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) ) ^ 2 )
1714, 5, 113pm3.2i 1130 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) )  e.  X  /\  A  e.  X  /\  (
( * `  C
) S B )  e.  X )
18 siii.7 . . . . . . . . . . 11  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
191, 12, 18dipsubdi 21535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) )  e.  X  /\  A  e.  X  /\  ( ( * `  C ) S B )  e.  X ) )  ->  ( ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) P ( A M ( ( * `  C
) S B ) ) )  =  ( ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P A )  -  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P ( ( * `
 C ) S B ) ) ) )
203, 17, 19mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) )  =  ( ( ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) P A )  -  (
( A M ( ( * `  C
) S B ) ) P ( ( * `  C ) S B ) ) )
211, 2, 18ipidsq 21394 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M ( ( * `
 C ) S B ) )  e.  X )  ->  (
( A M ( ( * `  C
) S B ) ) P ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) )  =  ( ( N `
 ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) ) ^
2 ) )
224, 14, 21mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) )  =  ( ( N `  ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) ) ^ 2 )
237, 8, 113pm3.2i 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( * `  C )  e.  CC  /\  B  e.  X  /\  (
( * `  C
) S B )  e.  X )
241, 9, 18dipass 21531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( ( * `  C )  e.  CC  /\  B  e.  X  /\  ( ( * `  C ) S B )  e.  X ) )  ->  ( (
( * `  C
) S B ) P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( B P ( ( * `
 C ) S B ) ) ) )
253, 23, 24mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( * `  C
) S B ) P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( B P ( ( * `
 C ) S B ) ) )
268, 6, 83pm3.2i 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  X  /\  C  e.  CC  /\  B  e.  X )
271, 9, 18dipassr2 21533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  ->  ( B P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( C  x.  ( B P B ) ) )
283, 26, 27mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( C  x.  ( B P B ) )
291, 2, 18ipidsq 21394 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( B P B )  =  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )
304, 8, 29mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B P B )  =  ( ( N `  B ) ^ 2 )
3130oveq2i 5953 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  x.  ( B P B ) )  =  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) )
3228, 31eqtri 2378 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) )
3332oveq2i 5953 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( * `  C )  x.  ( B P ( ( * `  C ) S B ) ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )
3425, 33eqtri 2378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( * `  C
) S B ) P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )
3534oveq2i 5953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( ( * `  C ) S B ) P ( ( * `  C ) S B ) ) )  =  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( * `  C )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) )
3635oveq2i 5953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) ) )  -  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( ( * `
 C ) S B ) P ( ( * `  C
) S B ) ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) ) )  -  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) )
371, 2, 4, 5nvcli 21334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N `
 A )  e.  RR
3837recni 8936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 A )  e.  CC
3938sqcli 11274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N `  A ) ^ 2 )  e.  CC
401, 18dipcl 21396 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B P A )  e.  CC )
414, 8, 5, 40mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B P A )  e.  CC
427, 41mulcli 8929 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) )  e.  CC
43 sii1.r . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  x.  ( A P B ) )  e.  RR
4443recni 8936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  x.  ( A P B ) )  e.  CC
451, 2, 4, 8nvcli 21334 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N `
 B )  e.  RR
4645recni 8936 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N `
 B )  e.  CC
4746sqcli 11274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N `  B ) ^ 2 )  e.  CC
486, 47mulcli 8929 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  e.  CC
497, 48mulcli 8929 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( * `  C )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  e.  CC
50 sub4 9179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N `
 A ) ^
2 )  e.  CC  /\  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) )  e.  CC )  /\  ( ( C  x.  ( A P B ) )  e.  CC  /\  ( ( * `  C )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) ) )  -  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( * `  C )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( ( * `  C
)  x.  ( B P A ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
5139, 42, 44, 49, 50mp4an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) ) )  -  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( * `  C )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( ( * `  C
)  x.  ( B P A ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) )
5236, 51eqtri 2378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) ) )  -  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( ( * `
 C ) S B ) P ( ( * `  C
) S B ) ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( ( * `  C
)  x.  ( B P A ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) )
535, 11, 53pm3.2i 1130 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  X  /\  (
( * `  C
) S B )  e.  X  /\  A  e.  X )
541, 12, 18dipsubdir 21534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  ( ( * `  C ) S B )  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) P A )  =  ( ( A P A )  -  ( ( ( * `  C
) S B ) P A ) ) )
553, 53, 54mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P A )  =  ( ( A P A )  -  (
( ( * `  C ) S B ) P A ) )
561, 2, 18ipidsq 21394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A P A )  =  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )
574, 5, 56mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A P A )  =  ( ( N `  A ) ^ 2 )
587, 8, 53pm3.2i 1130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( * `  C )  e.  CC  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )
591, 9, 18dipass 21531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( ( * `  C )  e.  CC  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
( * `  C
) S B ) P A )  =  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) ) )
603, 58, 59mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( * `  C
) S B ) P A )  =  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) )
6157, 60oveq12i 5954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A P A )  -  ( ( ( * `  C ) S B ) P A ) )  =  ( ( ( N `
 A ) ^
2 )  -  (
( * `  C
)  x.  ( B P A ) ) )
6255, 61eqtri 2378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P A )  =  ( ( ( N `
 A ) ^
2 )  -  (
( * `  C
)  x.  ( B P A ) ) )
635, 11, 113pm3.2i 1130 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  X  /\  (
( * `  C
) S B )  e.  X  /\  (
( * `  C
) S B )  e.  X )
641, 12, 18dipsubdir 21534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  ( ( * `  C ) S B )  e.  X  /\  ( ( * `  C ) S B )  e.  X ) )  ->  ( ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) P ( ( * `  C ) S B ) )  =  ( ( A P ( ( * `  C
) S B ) )  -  ( ( ( * `  C
) S B ) P ( ( * `
 C ) S B ) ) ) )
653, 63, 64mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( ( A P ( ( * `  C ) S B ) )  -  (
( ( * `  C ) S B ) P ( ( * `  C ) S B ) ) )
665, 6, 83pm3.2i 1130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  X  /\  C  e.  CC  /\  B  e.  X )
671, 9, 18dipassr2 21533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  C  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  ->  ( A P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( C  x.  ( A P B ) ) )
683, 66, 67mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( C  x.  ( A P B ) )
6968oveq1i 5952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A P ( ( * `  C ) S B ) )  -  ( ( ( * `  C ) S B ) P ( ( * `  C ) S B ) ) )  =  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( ( * `  C
) S B ) P ( ( * `
 C ) S B ) ) )
7065, 69eqtri 2378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A M ( ( * `  C ) S B ) ) P ( ( * `
 C ) S B ) )  =  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( ( * `  C
) S B ) P ( ( * `
 C ) S B ) ) )
7162, 70oveq12i 5954 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A M ( ( * `  C
) S B ) ) P A )  -  ( ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) P ( ( * `  C ) S B ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( ( * `  C )  x.  ( B P A ) ) )  -  ( ( C  x.  ( A P B ) )  -  ( ( ( * `  C ) S B ) P ( ( * `  C ) S B ) ) ) )
727, 41, 48subdii 9315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( * `  C )  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( * `
 C )  x.  ( B P A ) )  -  (
( * `  C
)  x.  ( C  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) ) )
7372oveq2i 5953 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( ( * `  C
)  x.  ( B P A ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) )
7452, 71, 733eqtr4i 2388 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A M ( ( * `  C
) S B ) ) P A )  -  ( ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) P ( ( * `  C ) S B ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( * `  C )  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) )
7520, 22, 743eqtr3i 2386 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  ( A M ( ( * `
 C ) S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( * `  C )  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) )
7616, 75breqtri 4125 . . . . . . 7  |-  0  <_  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( * `  C )  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) ) )
7741, 48subeq0i 9213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) )  =  0  <->  ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )
78 oveq2 5950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) )  =  0  ->  (
( * `  C
)  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( * `
 C )  x.  0 ) )
797mul01i 9089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( * `  C )  x.  0 )  =  0
8078, 79syl6eq 2406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) )  =  0  ->  (
( * `  C
)  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) )  =  0 )
8177, 80sylbir 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  (
( * `  C
)  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) )  =  0 )
8281oveq2d 5958 . . . . . . . 8  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( ( N `
 A ) ^
2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  0 ) )
8337resqcli 11279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  A ) ^ 2 )  e.  RR
8483recni 8936 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  A ) ^ 2 )  e.  CC
8584, 44subcli 9209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N `  A
) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  e.  CC
8685subid1i 9205 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  0 )  =  ( ( ( N `
 A ) ^
2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )
8782, 86syl6eq 2406 . . . . . . 7  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( ( N `
 A ) ^
2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  -  ( ( * `
 C )  x.  ( ( B P A )  -  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( N `
 A ) ^
2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) ) )
8876, 87syl5breq 4137 . . . . . 6  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  0  <_  ( ( ( N `
 A ) ^
2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) ) )
8983, 43subge0i 9413 . . . . . 6  |-  ( 0  <_  ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  <->  ( C  x.  ( A P B ) )  <_  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )
9088, 89sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  ( C  x.  ( A P B ) )  <_ 
( ( N `  A ) ^ 2 ) )
9145resqcli 11279 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  B ) ^ 2 )  e.  RR
9245sqge0i 11281 . . . . . . . 8  |-  0  <_  ( ( N `  B ) ^ 2 )
9391, 92pm3.2i 441 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N `  B
) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )
9443, 83, 933pm3.2i 1130 . . . . . 6  |-  ( ( C  x.  ( A P B ) )  e.  RR  /\  (
( N `  A
) ^ 2 )  e.  RR  /\  (
( ( N `  B ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) )
95 lemul1a 9697 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  x.  ( A P B ) )  e.  RR  /\  ( ( N `  A ) ^ 2 )  e.  RR  /\  ( ( ( N `
 B ) ^
2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  /\  ( C  x.  ( A P B ) )  <_ 
( ( N `  A ) ^ 2 ) )  ->  (
( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  <_ 
( ( ( N `
 A ) ^
2 )  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) )
9694, 95mpan 651 . . . . 5  |-  ( ( C  x.  ( A P B ) )  <_  ( ( N `
 A ) ^
2 )  ->  (
( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  <_ 
( ( ( N `
 A ) ^
2 )  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) )
9790, 96syl 15 . . . 4  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  (
( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  <_ 
( ( ( N `
 A ) ^
2 )  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) )
9838, 46sqmuli 11277 . . . 4  |-  ( ( ( N `  A
)  x.  ( N `
 B ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( N `
 A ) ^
2 )  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) )
9997, 98syl6breqr 4142 . . 3  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  (
( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  <_ 
( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) ) ^ 2 ) )
100 sii1.z . . . . 5  |-  0  <_  ( C  x.  ( A P B ) )
10143, 91mulge0i 9407 . . . . 5  |-  ( ( 0  <_  ( C  x.  ( A P B ) )  /\  0  <_  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  0  <_  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )
102100, 92, 101mp2an 653 . . . 4  |-  0  <_  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )
10337, 45remulcli 8938 . . . . 5  |-  ( ( N `  A )  x.  ( N `  B ) )  e.  RR
104103sqge0i 11281 . . . 4  |-  0  <_  ( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) ) ^ 2 )
10543, 91remulcli 8938 . . . . 5  |-  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  e.  RR
106103resqcli 11279 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  A
)  x.  ( N `
 B ) ) ^ 2 )  e.  RR
107105, 106sqrlei 11962 . . . 4  |-  ( ( 0  <_  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  /\  0  <_  ( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  <_  ( ( ( N `  A )  x.  ( N `  B ) ) ^
2 )  <->  ( sqr `  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  <_  ( sqr `  ( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) ) ^ 2 ) ) ) )
108102, 104, 107mp2an 653 . . 3  |-  ( ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  <_ 
( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) ) ^ 2 )  <->  ( sqr `  (
( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) )  <_  ( sqr `  (
( ( N `  A )  x.  ( N `  B )
) ^ 2 ) ) )
10999, 108sylib 188 . 2  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  ( sqr `  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  <_ 
( sqr `  (
( ( N `  A )  x.  ( N `  B )
) ^ 2 ) ) )
1101, 18dipcl 21396 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P B )  e.  CC )
1114, 5, 8, 110mp3an 1277 . . . . . 6  |-  ( A P B )  e.  CC
1126, 111mulcomi 8930 . . . . 5  |-  ( C  x.  ( A P B ) )  =  ( ( A P B )  x.  C
)
113112oveq1i 5952 . . . 4  |-  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  =  ( ( ( A P B )  x.  C )  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) )
11491recni 8936 . . . . 5  |-  ( ( N `  B ) ^ 2 )  e.  CC
115111, 6, 114mulassi 8933 . . . 4  |-  ( ( ( A P B )  x.  C )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  =  ( ( A P B )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )
116113, 115eqtri 2378 . . 3  |-  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  =  ( ( A P B )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )
117116fveq2i 5608 . 2  |-  ( sqr `  ( ( C  x.  ( A P B ) )  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  ( ( A P B )  x.  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) )
1181, 2nvge0 21348 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  A
) )
1194, 5, 118mp2an 653 . . . 4  |-  0  <_  ( N `  A
)
1201, 2nvge0 21348 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  B
) )
1214, 8, 120mp2an 653 . . . 4  |-  0  <_  ( N `  B
)
12237, 45mulge0i 9407 . . . 4  |-  ( ( 0  <_  ( N `  A )  /\  0  <_  ( N `  B
) )  ->  0  <_  ( ( N `  A )  x.  ( N `  B )
) )
123119, 121, 122mp2an 653 . . 3  |-  0  <_  ( ( N `  A )  x.  ( N `  B )
)
124103sqrsqi 11948 . . 3  |-  ( 0  <_  ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) )  ->  ( sqr `  ( ( ( N `  A )  x.  ( N `  B ) ) ^
2 ) )  =  ( ( N `  A )  x.  ( N `  B )
) )
125123, 124ax-mp 8 . 2  |-  ( sqr `  ( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( N `  A
)  x.  ( N `
 B ) )
126109, 117, 1253brtr3g 4133 1  |-  ( ( B P A )  =  ( C  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  ->  ( sqr `  ( ( A P B )  x.  ( C  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) ) )  <_ 
( ( N `  A )  x.  ( N `  B )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   class class class wbr 4102   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   CCcc 8822   RRcr 8823   0cc0 8824    x. cmul 8829    <_ cle 8955    - cmin 9124   2c2 9882   ^cexp 11194   *ccj 11671   sqrcsqr 11808   NrmCVeccnv 21248   BaseSetcba 21250   .s OLDcns 21251   -vcnsb 21253   normCVcnmcv 21254   .i OLDcdip 21381   CPreHil OLDccphlo 21498
This theorem is referenced by:  siilem2  21538
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-inf2 7429  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902  ax-addf 8903  ax-mulf 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-iin 3987  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-of 6162  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-2o 6564  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-ixp 6903  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-fi 7252  df-sup 7281  df-oi 7312  df-card 7659  df-cda 7881  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-7 9896  df-8 9897  df-9 9898  df-10 9899  df-n0 10055  df-z 10114  df-dec 10214  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-xneg 10541  df-xadd 10542  df-xmul 10543  df-ioo 10749  df-icc 10752  df-fz 10872  df-fzo 10960  df-seq 11136  df-exp 11195  df-hash 11428  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-clim 12052  df-sum 12250  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-ress 13246  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-starv 13314  df-sca 13315  df-vsca 13316  df-tset 13318  df-ple 13319  df-ds 13321  df-unif 13322  df-hom 13323  df-cco 13324  df-rest 13420  df-topn 13421  df-topgen 13437  df-pt 13438  df-prds 13441  df-xrs 13496  df-0g 13497  df-gsum 13498  df-qtop 13503  df-imas 13504  df-xps 13506  df-mre 13581  df-mrc 13582  df-acs 13584  df-mnd 14460  df-submnd 14509  df-mulg 14585  df-cntz 14886  df-cmn 15184  df-xmet 16469  df-met 16470  df-bl 16471  df-mopn 16472  df-cnfld 16477  df-top 16736  df-bases 16738  df-topon 16739  df-topsp 16740  df-cld 16856  df-ntr 16857  df-cls 16858  df-cn 17057  df-cnp 17058  df-t1 17142  df-haus 17143  df-tx 17357  df-hmeo 17546  df-xms 17981  df-ms 17982  df-tms 17983  df-grpo 20964  df-gid 20965  df-ginv 20966  df-gdiv 20967  df-ablo 21055  df-vc 21210  df-nv 21256  df-va 21259  df-ba 21260  df-sm 21261  df-0v 21262  df-vs 21263  df-nmcv 21264  df-ims 21265  df-dip 21382  df-ph 21499
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