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Theorem sin01bnd 12465
Description: Bounds on the sine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sin01bnd  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  A )  /\  ( sin `  A )  < 
A ) )

Proof of Theorem sin01bnd
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 8878 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
2 1re 8837 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
3 elioc2 10713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <_  1 ) ) )
41, 2, 3mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <_  1 ) )
54simp1bi 970 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  A  e.  RR )
6 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
76resin4p 12418 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  A )  =  ( ( A  -  ( ( A ^
3 )  /  6
) )  +  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) ) ) )
85, 7syl 15 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( sin `  A )  =  ( ( A  -  ( ( A ^
3 )  /  6
) )  +  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) ) ) )
98eqcomd 2288 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  +  ( Im
`  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )  =  ( sin `  A
) )
105resincld 12423 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( sin `  A )  e.  RR )
1110recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
12 3nn0 9983 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  NN0
13 reexpcl 11120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 3 )  e.  RR )
145, 12, 13sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 3 )  e.  RR )
15 6nn 9881 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  NN
16 nndivre 9781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A ^ 3 )  e.  RR  /\  6  e.  NN )  ->  ( ( A ^
3 )  /  6
)  e.  RR )
1714, 15, 16sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 3 )  /  6 )  e.  RR )
185, 17resubcld 9211 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) )  e.  RR )
1918recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) )  e.  CC )
20 ax-icn 8796 . . . . . . . . . 10  |-  _i  e.  CC
215recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  A  e.  CC )
22 mulcl 8821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
2320, 21, 22sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
24 4nn0 9984 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  NN0
256eftlcl 12387 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  e.  CC )
2623, 24, 25sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k )  e.  CC )
2726imcld 11680 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )  e.  RR )
2827recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )  e.  CC )
2911, 19, 28subaddd 9175 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( sin `  A
)  -  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) )  =  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) )  <-> 
( ( A  -  ( ( A ^
3 )  /  6
) )  +  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) ) )  =  ( sin `  A
) ) )
309, 29mpbird 223 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( sin `  A
)  -  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) )  =  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )
3130fveq2d 5529 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( ( sin `  A )  -  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) ) )  =  ( abs `  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) ) )
3228abscld 11918 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  e.  RR )
3326abscld 11918 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  e.  RR )
34 absimle 11794 . . . . 5  |-  ( sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  <_  ( abs ` 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )
3526, 34syl 15 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  <_  ( abs ` 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )
36 reexpcl 11120 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 4 )  e.  RR )
375, 24, 36sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 4 )  e.  RR )
38 nndivre 9781 . . . . . 6  |-  ( ( ( A ^ 4 )  e.  RR  /\  6  e.  NN )  ->  ( ( A ^
4 )  /  6
)  e.  RR )
3937, 15, 38sylancl 643 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 4 )  /  6 )  e.  RR )
406ef01bndlem 12464 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  <  (
( A ^ 4 )  /  6 ) )
4112a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  3  e.  NN0 )
42 4nn 9879 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  NN
4342nnzi 10047 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  ZZ
44 3re 9817 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
45 4re 9819 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR
46 3lt4 9889 . . . . . . . . . 10  |-  3  <  4
4744, 45, 46ltleii 8941 . . . . . . . . 9  |-  3  <_  4
48 3nn 9878 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN
4948nnzi 10047 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  ZZ
5049eluz1i 10237 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  3
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  3  <_ 
4 ) )
5143, 47, 50mpbir2an 886 . . . . . . . 8  |-  4  e.  ( ZZ>= `  3 )
5251a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  4  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
534simp2bi 971 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <  A )
54 0re 8838 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
55 ltle 8910 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  ->  0  <_  A )
)
5654, 5, 55sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
0  <  A  ->  0  <_  A ) )
5753, 56mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <_  A )
584simp3bi 972 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  A  <_  1 )
595, 41, 52, 57, 58leexp2rd 11278 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 4 )  <_ 
( A ^ 3 ) )
60 6re 9822 . . . . . . . 8  |-  6  e.  RR
6160a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  6  e.  RR )
62 6pos 9834 . . . . . . . 8  |-  0  <  6
6362a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <  6 )
64 lediv1 9621 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A ^ 4 )  e.  RR  /\  ( A ^ 3 )  e.  RR  /\  (
6  e.  RR  /\  0  <  6 ) )  ->  ( ( A ^ 4 )  <_ 
( A ^ 3 )  <->  ( ( A ^ 4 )  / 
6 )  <_  (
( A ^ 3 )  /  6 ) ) )
6537, 14, 61, 63, 64syl112anc 1186 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 4 )  <_  ( A ^ 3 )  <->  ( ( A ^ 4 )  / 
6 )  <_  (
( A ^ 3 )  /  6 ) ) )
6659, 65mpbid 201 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 4 )  /  6 )  <_  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) )
6733, 39, 17, 40, 66ltletrd 8976 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  <  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )
6832, 33, 17, 35, 67lelttrd 8974 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  <  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )
6931, 68eqbrtrd 4043 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( ( sin `  A )  -  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) ) )  <  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )
7010, 18, 17absdifltd 11916 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( abs `  (
( sin `  A
)  -  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) ) )  <  ( ( A ^ 3 )  /  6 )  <->  ( (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  -  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )  <  ( sin `  A
)  /\  ( sin `  A )  <  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) ) ) ) )
7117recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 3 )  /  6 )  e.  CC )
7221, 71, 71subsub4d 9188 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  -  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )  =  ( A  -  ( ( ( A ^ 3 )  / 
6 )  +  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) ) ) )
7314recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 3 )  e.  CC )
74 3cn 9818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  CC
75 3ne0 9831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  =/=  0
7674, 75pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
77 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
78 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
7977, 78pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
80 divdiv1 9471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A ^ 3 )  e.  CC  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( A ^ 3 )  / 
3 )  /  2
)  =  ( ( A ^ 3 )  /  ( 3  x.  2 ) ) )
8176, 79, 80mp3an23 1269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A ^ 3 )  e.  CC  ->  (
( ( A ^
3 )  /  3
)  /  2 )  =  ( ( A ^ 3 )  / 
( 3  x.  2 ) ) )
8273, 81syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A ^
3 )  /  3
)  /  2 )  =  ( ( A ^ 3 )  / 
( 3  x.  2 ) ) )
83 3t2e6 9872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
8483oveq2i 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A ^ 3 )  /  ( 3  x.  2 ) )  =  ( ( A ^
3 )  /  6
)
8582, 84syl6req 2332 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 3 )  /  6 )  =  ( ( ( A ^ 3 )  /  3 )  / 
2 ) )
8685, 85oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A ^
3 )  /  6
)  +  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )  =  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  3 )  /  2 )  +  ( ( ( A ^ 3 )  / 
3 )  /  2
) ) )
87 nndivre 9781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A ^ 3 )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( A ^
3 )  /  3
)  e.  RR )
8814, 48, 87sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 3 )  /  3 )  e.  RR )
8988recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 3 )  /  3 )  e.  CC )
90892halvesd 9957 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( ( A ^ 3 )  / 
3 )  /  2
)  +  ( ( ( A ^ 3 )  /  3 )  /  2 ) )  =  ( ( A ^ 3 )  / 
3 ) )
9186, 90eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A ^
3 )  /  6
)  +  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )  =  ( ( A ^ 3 )  / 
3 ) )
9291oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A  -  ( (
( A ^ 3 )  /  6 )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) )  =  ( A  -  ( ( A ^
3 )  /  3
) ) )
9372, 92eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  -  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )  =  ( A  -  ( ( A ^
3 )  /  3
) ) )
9493breq1d 4033 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A  -  ( ( A ^
3 )  /  6
) )  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  <  ( sin `  A )  <->  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
3 ) )  < 
( sin `  A
) ) )
9521, 71npcand 9161 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )  =  A )
9695breq2d 4035 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( sin `  A
)  <  ( ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) )  +  ( ( A ^
3 )  /  6
) )  <->  ( sin `  A )  <  A
) )
9794, 96anbi12d 691 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) )  -  ( ( A ^
3 )  /  6
) )  <  ( sin `  A )  /\  ( sin `  A )  <  ( ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) )  +  ( ( A ^
3 )  /  6
) ) )  <->  ( ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
3 ) )  < 
( sin `  A
)  /\  ( sin `  A )  <  A
) ) )
9870, 97bitrd 244 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( abs `  (
( sin `  A
)  -  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) ) )  <  ( ( A ^ 3 )  /  6 )  <->  ( ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
3 ) )  < 
( sin `  A
)  /\  ( sin `  A )  <  A
) ) )
9969, 98mpbid 201 1  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  A )  /\  ( sin `  A )  < 
A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738   _ici 8739    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   6c6 9799   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   (,]cioc 10657   ^cexp 11104   !cfa 11288   Imcim 11583   abscabs 11719   sum_csu 12158   sincsin 12345
This theorem is referenced by:  sinltx  12469  sin01gt0  12470  tangtx  19873  sinccvglem  24005
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351
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