Theorem sin4lt0 7481

Description: The sine of 4 is negative. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sin4lt0	|- (sin` 4) < 0

Proof of Theorem sin4lt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t2e4 6022	. . . 4 |- (2 x. 2) = 4
2	1	fveq2i 3727	. . 3 |- (sin` (2 x. 2)) = (sin` 4)
3		2cn 5980	. . . 4 |- 2 e. CC
4		sin2tt 7462	. . . 4 |- (2 e. CC -> (sin` (2 x. 2)) = (2 x. ((sin` 2) x. (cos` 2))))
5	3, 4	ax-mp 7	. . 3 |- (sin` (2 x. 2)) = (2 x. ((sin` 2) x. (cos` 2)))
6	2, 5	eqtr3 1497	. 2 |- (sin` 4) = (2 x. ((sin` 2) x. (cos` 2)))
7		sincos2sgn 7480	. . . . . . 7 |- (0 < (sin` 2) /\ (cos` 2) < 0)
8	7	pm3.27i 324	. . . . . 6 |- (cos` 2) < 0
9		2re 5979	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
10		recosclt 7439	. . . . . . . 8 |- (2 e. RR -> (cos` 2) e. RR)
11	9, 10	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (cos` 2) e. RR
12		0re 5440	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
13		resinclt 7438	. . . . . . . 8 |- (2 e. RR -> (sin` 2) e. RR)
14	9, 13	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (sin` 2) e. RR
15	7	pm3.26i 320	. . . . . . . 8 |- 0 < (sin` 2)
16		ltmul2t 5831	. . . . . . . 8 |- ((((cos` 2) e. RR /\ 0 e. RR /\ (sin` 2) e. RR) /\ 0 < (sin` 2)) -> ((cos` 2) < 0 <-> ((sin` 2) x. (cos` 2)) < ((sin` 2) x. 0)))
17	15, 16	mpan2 696	. . . . . . 7 |- (((cos` 2) e. RR /\ 0 e. RR /\ (sin` 2) e. RR) -> ((cos` 2) < 0 <-> ((sin` 2) x. (cos` 2)) < ((sin` 2) x. 0)))
18	11, 12, 14, 17	mp3an 916	. . . . . 6 |- ((cos` 2) < 0 <-> ((sin` 2) x. (cos` 2)) < ((sin` 2) x. 0))
19	8, 18	mpbi 189	. . . . 5 |- ((sin` 2) x. (cos` 2)) < ((sin` 2) x. 0)
20	14	recn 5314	. . . . . 6 |- (sin` 2) e. CC
21	20	mul01 5431	. . . . 5 |- ((sin` 2) x. 0) = 0
22	19, 21	breqtr 2638	. . . 4 |- ((sin` 2) x. (cos` 2)) < 0
23	14, 11	remulcl 5335	. . . . 5 |- ((sin` 2) x. (cos` 2)) e. RR
24		2pos 5989	. . . . . 6 |- 0 < 2
25		ltmul2t 5831	. . . . . 6 |- (((((sin` 2) x. (cos` 2)) e. RR /\ 0 e. RR /\ 2 e. RR) /\ 0 < 2) -> (((sin` 2) x. (cos` 2)) < 0 <-> (2 x. ((sin` 2) x. (cos` 2))) < (2 x. 0)))
26	24, 25	mpan2 696	. . . . 5 |- ((((sin` 2) x. (cos` 2)) e. RR /\ 0 e. RR /\ 2 e. RR) -> (((sin` 2) x. (cos` 2)) < 0 <-> (2 x. ((sin` 2) x. (cos` 2))) < (2 x. 0)))
27	23, 12, 9, 26	mp3an 916	. . . 4 |- (((sin` 2) x. (cos` 2)) < 0 <-> (2 x. ((sin` 2) x. (cos` 2))) < (2 x. 0))
28	22, 27	mpbi 189	. . 3 |- (2 x. ((sin` 2) x. (cos` 2))) < (2 x. 0)
29	3	mul01 5431	. . 3 |- (2 x. 0) = 0
30	28, 29	breqtr 2638	. 2 |- (2 x. ((sin` 2) x. (cos` 2))) < 0
31	6, 30	eqbrtr 2634	1 |- (sin` 4) < 0

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234   x. cmul 5239   < clt 5486  2c2 5961  4c4 5963  sincsin 7295  cosccos 7296

This theorem is referenced by:  pilem1 8671

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-5 5973  df-6 5974  df-7 5975  df-8 5976  df-9 5977  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-ioc 6362  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-seq0 6534  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-fac 6932  df-bc 6957  df-clim 6975  df-sum 6980  df-ef 7298  df-sin 7300  df-cos 7301

Copyright terms: Public domain