Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinasin Structured version   Unicode version

Theorem sinasin 20734
 Description: The arcsine function is an inverse to . This is the main property that justifies the notation arcsin or . Because is not an injection, the other converse identity asinsin 20737 is only true under limited circumstances. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
sinasin arcsin

Proof of Theorem sinasin
StepHypRef Expression
1 asincl 20718 . . 3 arcsin
2 sinval 12728 . . 3 arcsin arcsin arcsin arcsin
31, 2syl 16 . 2 arcsin arcsin arcsin
4 ax-icn 9054 . . . . . 6
5 mulcl 9079 . . . . . 6
64, 5mpan 653 . . . . 5
76negcld 9403 . . . . 5
8 ax-1cn 9053 . . . . . . 7
9 sqcl 11449 . . . . . . 7
10 subcl 9310 . . . . . . 7
118, 9, 10sylancr 646 . . . . . 6
1211sqrcld 12244 . . . . 5
136, 7, 12pnpcan2d 9454 . . . 4
14 efiasin 20733 . . . . 5 arcsin
15 mulneg12 9477 . . . . . . . . 9 arcsin arcsin arcsin
164, 1, 15sylancr 646 . . . . . . . 8 arcsin arcsin
17 asinneg 20731 . . . . . . . . 9 arcsin arcsin
1817oveq2d 6100 . . . . . . . 8 arcsin arcsin
1916, 18eqtr4d 2473 . . . . . . 7 arcsin arcsin
2019fveq2d 5735 . . . . . 6 arcsin arcsin
21 negcl 9311 . . . . . . 7
22 efiasin 20733 . . . . . . 7 arcsin
2321, 22syl 16 . . . . . 6 arcsin
24 mulneg2 9476 . . . . . . . 8
254, 24mpan 653 . . . . . . 7
26 sqneg 11447 . . . . . . . . 9
2726oveq2d 6100 . . . . . . . 8
2827fveq2d 5735 . . . . . . 7
2925, 28oveq12d 6102 . . . . . 6
3020, 23, 293eqtrd 2474 . . . . 5 arcsin
3114, 30oveq12d 6102 . . . 4 arcsin arcsin
3262timesd 10215 . . . . 5
33 2cn 10075 . . . . . 6
34 mulass 9083 . . . . . 6
3533, 4, 34mp3an12 1270 . . . . 5
366, 6subnegd 9423 . . . . 5
3732, 35, 363eqtr4d 2480 . . . 4
3813, 31, 373eqtr4d 2480 . . 3 arcsin arcsin
39 mulcl 9079 . . . . . . 7 arcsin arcsin
404, 1, 39sylancr 646 . . . . . 6 arcsin
41 efcl 12690 . . . . . 6 arcsin arcsin
4240, 41syl 16 . . . . 5 arcsin
434negcli 9373 . . . . . . 7
44 mulcl 9079 . . . . . . 7 arcsin arcsin
4543, 1, 44sylancr 646 . . . . . 6 arcsin
46 efcl 12690 . . . . . 6 arcsin arcsin
4745, 46syl 16 . . . . 5 arcsin
4842, 47subcld 9416 . . . 4 arcsin arcsin
49 id 21 . . . 4
5033, 4mulcli 9100 . . . . 5
5150a1i 11 . . . 4
52 2ne0 10088 . . . . . 6
53 ine0 9474 . . . . . 6
5433, 4, 52, 53mulne0i 9670 . . . . 5
5554a1i 11 . . . 4
5648, 49, 51, 55divmul2d 9828 . . 3 arcsin arcsin arcsin arcsin
5738, 56mpbird 225 . 2 arcsin arcsin
583, 57eqtrd 2470 1 arcsin
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  cfv 5457  (class class class)co 6084  cc 8993  cc0 8995  c1 8996  ci 8997   caddc 8998   cmul 9000   cmin 9296  cneg 9297   cdiv 9682  c2 10054  cexp 11387  csqr 12043  ce 12669  csin 12671  arcsincasin 20707 This theorem is referenced by:  cosacos  20735  asinsinb  20742 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ioc 10926  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-fac 11572  df-bc 11599  df-hash 11624  df-shft 11887  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-limsup 12270  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-ef 12675  df-sin 12677  df-cos 12678  df-pi 12680  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-lp 17205  df-perf 17206  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-haus 17384  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cncf 18913  df-limc 19758  df-dv 19759  df-log 20459  df-asin 20710
 Copyright terms: Public domain W3C validator