MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinasin Structured version   Unicode version

Theorem sinasin 20734
Description: The arcsine function is an inverse to  sin. This is the main property that justifies the notation arcsin or  sin
^ -u 1. Because  sin is not an injection, the other converse identity asinsin 20737 is only true under limited circumstances. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
sinasin  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  (arcsin `  A
) )  =  A )

Proof of Theorem sinasin
StepHypRef Expression
1 asincl 20718 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (arcsin `  A )  e.  CC )
2 sinval 12728 . . 3  |-  ( (arcsin `  A )  e.  CC  ->  ( sin `  (arcsin `  A ) )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  A ) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  (arcsin `  A
) )  =  ( ( ( exp `  (
_i  x.  (arcsin `  A
) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A
) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) ) )
4 ax-icn 9054 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
5 mulcl 9079 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
64, 5mpan 653 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
76negcld 9403 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
_i  x.  A )  e.  CC )
8 ax-1cn 9053 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
9 sqcl 11449 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
10 subcl 9310 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
118, 9, 10sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
1211sqrcld 12244 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
136, 7, 12pnpcan2d 9454 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  -  ( -u ( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  A )  -  -u (
_i  x.  A )
) )
14 efiasin 20733 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
15 mulneg12 9477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  (arcsin `  A )  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) )  =  ( _i  x.  -u (arcsin `  A ) ) )
164, 1, 15sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) )  =  ( _i  x.  -u (arcsin `  A ) ) )
17 asinneg 20731 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (arcsin `  -u A )  =  -u (arcsin `  A ) )
1817oveq2d 6100 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  (arcsin `  -u A
) )  =  ( _i  x.  -u (arcsin `  A ) ) )
1916, 18eqtr4d 2473 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) )  =  ( _i  x.  (arcsin `  -u A ) ) )
2019fveq2d 5735 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A )
) )  =  ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  -u A
) ) ) )
21 negcl 9311 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
22 efiasin 20733 . . . . . . 7  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  -u A
) ) )  =  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  -u A ) ) )  =  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )
24 mulneg2 9476 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u A
)  =  -u (
_i  x.  A )
)
254, 24mpan 653 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u A )  =  -u ( _i  x.  A ) )
26 sqneg 11447 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A ^ 2 )  =  ( A ^
2 ) )
2726oveq2d 6100 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) )
2827fveq2d 5735 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^
2 ) ) )  =  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )
2925, 28oveq12d 6102 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =  ( -u ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
3020, 23, 293eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A )
) )  =  (
-u ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) )
3114, 30oveq12d 6102 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  (arcsin `  A
) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A
) ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  -  ( -u ( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
3262timesd 10215 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  A
) ) )
33 2cn 10075 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
34 mulass 9083 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  _i )  x.  A )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) )
3533, 4, 34mp3an12 1270 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  _i )  x.  A )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) )
366, 6subnegd 9423 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
)  -  -u (
_i  x.  A )
)  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  A ) ) )
3732, 35, 363eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  _i )  x.  A )  =  ( ( _i  x.  A )  -  -u ( _i  x.  A
) ) )
3813, 31, 373eqtr4d 2480 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  (arcsin `  A
) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A
) ) ) )  =  ( ( 2  x.  _i )  x.  A ) )
39 mulcl 9079 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  (arcsin `  A )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  (arcsin `  A
) )  e.  CC )
404, 1, 39sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  (arcsin `  A
) )  e.  CC )
41 efcl 12690 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  (arcsin `  A ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  A ) ) )  e.  CC )
4240, 41syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  A ) ) )  e.  CC )
434negcli 9373 . . . . . . 7  |-  -u _i  e.  CC
44 mulcl 9079 . . . . . . 7  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  (arcsin `  A )  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) )  e.  CC )
4543, 1, 44sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) )  e.  CC )
46 efcl 12690 . . . . . 6  |-  ( (
-u _i  x.  (arcsin `  A ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) ) )  e.  CC )
4745, 46syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A )
) )  e.  CC )
4842, 47subcld 9416 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  (arcsin `  A
) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A
) ) ) )  e.  CC )
49 id 21 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
5033, 4mulcli 9100 . . . . 5  |-  ( 2  x.  _i )  e.  CC
5150a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  _i )  e.  CC )
52 2ne0 10088 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
53 ine0 9474 . . . . . 6  |-  _i  =/=  0
5433, 4, 52, 53mulne0i 9670 . . . . 5  |-  ( 2  x.  _i )  =/=  0
5554a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  _i )  =/=  0 )
5648, 49, 51, 55divmul2d 9828 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  A ) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  A  <->  ( ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  A ) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  _i )  x.  A )
) )
5738, 56mpbird 225 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( exp `  (
_i  x.  (arcsin `  A
) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A
) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  A )
583, 57eqtrd 2470 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  (arcsin `  A
) )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   0cc0 8995   1c1 8996   _ici 8997    + caddc 8998    x. cmul 9000    - cmin 9296   -ucneg 9297    / cdiv 9682   2c2 10054   ^cexp 11387   sqrcsqr 12043   expce 12669   sincsin 12671  arcsincasin 20707
This theorem is referenced by:  cosacos  20735  asinsinb  20742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ioc 10926  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-fac 11572  df-bc 11599  df-hash 11624  df-shft 11887  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-limsup 12270  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-ef 12675  df-sin 12677  df-cos 12678  df-pi 12680  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-lp 17205  df-perf 17206  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-haus 17384  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cncf 18913  df-limc 19758  df-dv 19759  df-log 20459  df-asin 20710
  Copyright terms: Public domain W3C validator