MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinasin Unicode version

Theorem sinasin 20185
Description: The arcsine function is an inverse to  sin. This is the main property that justifies the notation arcsin or  sin
^ -u 1. Because  sin is not an injection, the other converse identity asinsin 20188 is only true under limited circumstances. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
sinasin  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  (arcsin `  A
) )  =  A )

Proof of Theorem sinasin
StepHypRef Expression
1 asincl 20169 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (arcsin `  A )  e.  CC )
2 sinval 12402 . . 3  |-  ( (arcsin `  A )  e.  CC  ->  ( sin `  (arcsin `  A ) )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  A ) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) ) )
31, 2syl 15 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  (arcsin `  A
) )  =  ( ( ( exp `  (
_i  x.  (arcsin `  A
) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A
) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) ) )
4 ax-icn 8796 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
5 mulcl 8821 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
64, 5mpan 651 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
76negcld 9144 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
_i  x.  A )  e.  CC )
8 ax-1cn 8795 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
9 sqcl 11166 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
10 subcl 9051 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
118, 9, 10sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
1211sqrcld 11919 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
136, 7, 12pnpcan2d 9195 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  -  ( -u ( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  A )  -  -u (
_i  x.  A )
) )
14 efiasin 20184 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
15 mulneg12 9218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  (arcsin `  A )  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) )  =  ( _i  x.  -u (arcsin `  A ) ) )
164, 1, 15sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) )  =  ( _i  x.  -u (arcsin `  A ) ) )
17 asinneg 20182 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (arcsin `  -u A )  =  -u (arcsin `  A ) )
1817oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  (arcsin `  -u A
) )  =  ( _i  x.  -u (arcsin `  A ) ) )
1916, 18eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) )  =  ( _i  x.  (arcsin `  -u A ) ) )
2019fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A )
) )  =  ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  -u A
) ) ) )
21 negcl 9052 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
22 efiasin 20184 . . . . . . 7  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  -u A
) ) )  =  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )
2321, 22syl 15 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  -u A ) ) )  =  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )
24 mulneg2 9217 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u A
)  =  -u (
_i  x.  A )
)
254, 24mpan 651 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u A )  =  -u ( _i  x.  A ) )
26 sqneg 11164 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A ^ 2 )  =  ( A ^
2 ) )
2726oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) )
2827fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^
2 ) ) )  =  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )
2925, 28oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =  ( -u ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
3020, 23, 293eqtrd 2319 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A )
) )  =  (
-u ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) )
3114, 30oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  (arcsin `  A
) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A
) ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  -  ( -u ( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
3262timesd 9954 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  A
) ) )
33 2cn 9816 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
34 mulass 8825 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  _i )  x.  A )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) )
3533, 4, 34mp3an12 1267 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  _i )  x.  A )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) )
366, 6subnegd 9164 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
)  -  -u (
_i  x.  A )
)  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  A ) ) )
3732, 35, 363eqtr4d 2325 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  _i )  x.  A )  =  ( ( _i  x.  A )  -  -u ( _i  x.  A
) ) )
3813, 31, 373eqtr4d 2325 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  (arcsin `  A
) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A
) ) ) )  =  ( ( 2  x.  _i )  x.  A ) )
39 mulcl 8821 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  (arcsin `  A )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  (arcsin `  A
) )  e.  CC )
404, 1, 39sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  (arcsin `  A
) )  e.  CC )
41 efcl 12364 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  (arcsin `  A ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  A ) ) )  e.  CC )
4240, 41syl 15 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  A ) ) )  e.  CC )
434negcli 9114 . . . . . . 7  |-  -u _i  e.  CC
44 mulcl 8821 . . . . . . 7  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  (arcsin `  A )  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) )  e.  CC )
4543, 1, 44sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) )  e.  CC )
46 efcl 12364 . . . . . 6  |-  ( (
-u _i  x.  (arcsin `  A ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) ) )  e.  CC )
4745, 46syl 15 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A )
) )  e.  CC )
4842, 47subcld 9157 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  (arcsin `  A
) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A
) ) ) )  e.  CC )
49 id 19 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
5033, 4mulcli 8842 . . . . 5  |-  ( 2  x.  _i )  e.  CC
5150a1i 10 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  _i )  e.  CC )
52 2ne0 9829 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
53 ine0 9215 . . . . . 6  |-  _i  =/=  0
5433, 4, 52, 53mulne0i 9411 . . . . 5  |-  ( 2  x.  _i )  =/=  0
5554a1i 10 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  _i )  =/=  0 )
5648, 49, 51, 55divmul2d 9569 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  A ) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  A  <->  ( ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  A ) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  _i )  x.  A )
) )
5738, 56mpbird 223 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( exp `  (
_i  x.  (arcsin `  A
) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A
) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  A )
583, 57eqtrd 2315 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  (arcsin `  A
) )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738   _ici 8739    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   2c2 9795   ^cexp 11104   sqrcsqr 11718   expce 12343   sincsin 12345  arcsincasin 20158
This theorem is referenced by:  cosacos  20186  asinsinb  20193
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-asin 20161
  Copyright terms: Public domain W3C validator