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Theorem sinccvglem 24005
Description:  ( ( sin `  x
)  /  x )  ~~>  1 as (real)  x  ~~>  0. (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sinccvg.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( RR 
\  { 0 } ) )
sinccvg.2  |-  ( ph  ->  F  ~~>  0 )
sinccvg.3  |-  G  =  ( x  e.  ( RR  \  { 0 } )  |->  ( ( sin `  x )  /  x ) )
sinccvg.4  |-  H  =  ( x  e.  CC  |->  ( 1  -  (
( x ^ 2 )  /  3 ) ) )
sinccvg.5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
sinccvg.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  1
)
Assertion
Ref Expression
sinccvglem  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  ~~>  1 )
Distinct variable groups:    x, k, F    k, H    k, M    ph, k    k, G
Allowed substitution hints:    ph( x)    G( x)    H( x)    M( x)

Proof of Theorem sinccvglem
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . 2  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 sinccvg.5 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
32nnzd 10116 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4 sinccvg.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  ~~>  0 )
5 sinccvg.4 . . . . . 6  |-  H  =  ( x  e.  CC  |->  ( 1  -  (
( x ^ 2 )  /  3 ) ) )
65funmpt2 5291 . . . . 5  |-  Fun  H
7 sinccvg.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( RR 
\  { 0 } ) )
8 nnex 9752 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
9 fex 5749 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( RR 
\  { 0 } )  /\  NN  e.  _V )  ->  F  e. 
_V )
107, 8, 9sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
11 cofunexg 5739 . . . . 5  |-  ( ( Fun  H  /\  F  e.  _V )  ->  ( H  o.  F )  e.  _V )
126, 10, 11sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H  o.  F
)  e.  _V )
137adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  F : NN
--> ( RR  \  {
0 } ) )
14 nnuz 10263 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1514uztrn2 10245 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
k  e.  NN )
162, 15sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  k  e.  NN )
17 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> ( RR 
\  { 0 } )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  ( RR  \  {
0 } ) )
1813, 16, 17syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  ( RR  \  { 0 } ) )
19 eldifsn 3749 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  k )  e.  ( RR  \  { 0 } )  <-> 
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( F `  k
)  =/=  0 ) )
2018, 19sylib 188 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( F `
 k )  =/=  0 ) )
2120simpld 445 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
2221recnd 8861 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
23 ax-1cn 8795 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
24 sqcl 11166 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
25 3cn 9818 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
26 3ne0 9831 . . . . . . . 8  |-  3  =/=  0
27 divcl 9430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
( x ^ 2 )  /  3 )  e.  CC )
2825, 26, 27mp3an23 1269 . . . . . . 7  |-  ( ( x ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( x ^ 2 )  /  3 )  e.  CC )
2924, 28syl 15 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( x ^ 2 )  /  3 )  e.  CC )
30 subcl 9051 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  /  3
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( ( x ^
2 )  /  3
) )  e.  CC )
3123, 29, 30sylancr 644 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  -  ( ( x ^ 2 )  /  3 ) )  e.  CC )
325, 31fmpti 5683 . . . 4  |-  H : CC
--> CC
33 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
3433cnfldtopon 18292 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
3534a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
3623a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
3735, 35, 36cnmptc 17356 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC  |->  1 )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
3833sqcn 18378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 2 ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
3938a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 2 ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
4033divccn 18377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  -> 
( y  e.  CC  |->  ( y  /  3
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
4125, 26, 40mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  |->  ( y  /  3 ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
4241a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( y  e.  CC  |->  ( y  /  3
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
43 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( x ^
2 )  ->  (
y  /  3 )  =  ( ( x ^ 2 )  / 
3 ) )
4435, 39, 35, 42, 43cnmpt11 17357 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( ( x ^
2 )  /  3
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
4533subcn 18370 . . . . . . . . . 10  |-  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
4645a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
4735, 37, 44, 46cnmpt12f 17360 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( 1  -  (
( x ^ 2 )  /  3 ) ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
4847trud 1314 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  |->  ( 1  -  ( ( x ^ 2 )  / 
3 ) ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
495, 48eqeltri 2353 . . . . . 6  |-  H  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
5033cncfcn1 18414 . . . . . 6  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
5149, 50eleqtrri 2356 . . . . 5  |-  H  e.  ( CC -cn-> CC )
52 cncfi 18398 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  ( CC
-cn-> CC )  /\  0  e.  CC  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  CC  ( ( abs `  ( w  -  0 ) )  <  z  ->  ( abs `  (
( H `  w
)  -  ( H `
 0 ) ) )  <  y ) )
5351, 52mp3an1 1264 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  CC  ( ( abs `  ( w  -  0 ) )  <  z  ->  ( abs `  (
( H `  w
)  -  ( H `
 0 ) ) )  <  y ) )
54 fvco3 5596 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( RR 
\  { 0 } )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( H  o.  F
) `  k )  =  ( H `  ( F `  k ) ) )
557, 54sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( H  o.  F ) `
 k )  =  ( H `  ( F `  k )
) )
5616, 55syldan 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( H  o.  F ) `  k )  =  ( H `  ( F `
 k ) ) )
571, 4, 12, 3, 22, 32, 53, 56climcn1lem 12076 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  o.  F
)  ~~>  ( H ` 
0 ) )
58 0cn 8831 . . . 4  |-  0  e.  CC
59 sq0i 11196 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
x ^ 2 )  =  0 )
6059oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( x ^ 2 )  /  3 )  =  ( 0  / 
3 ) )
6125, 26div0i 9494 . . . . . . . 8  |-  ( 0  /  3 )  =  0
6260, 61syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
( x ^ 2 )  /  3 )  =  0 )
6362oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
1  -  ( ( x ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( 1  -  0 ) )
6423subid1i 9118 . . . . . 6  |-  ( 1  -  0 )  =  1
6563, 64syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
1  -  ( ( x ^ 2 )  /  3 ) )  =  1 )
66 1ex 8833 . . . . 5  |-  1  e.  _V
6765, 5, 66fvmpt 5602 . . . 4  |-  ( 0  e.  CC  ->  ( H `  0 )  =  1 )
6858, 67ax-mp 8 . . 3  |-  ( H `
 0 )  =  1
6957, 68syl6breq 4062 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  o.  F
)  ~~>  1 )
70 sinccvg.3 . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  ( RR  \  { 0 } )  |->  ( ( sin `  x )  /  x ) )
7170funmpt2 5291 . . 3  |-  Fun  G
72 cofunexg 5739 . . 3  |-  ( ( Fun  G  /\  F  e.  _V )  ->  ( G  o.  F )  e.  _V )
7371, 10, 72sylancr 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  e.  _V )
74 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  (
x ^ 2 )  =  ( ( F `
 k ) ^
2 ) )
7574oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  (
( x ^ 2 )  /  3 )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  / 
3 ) )
7675oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  (
1  -  ( ( x ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( 1  -  ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  /  3
) ) )
77 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( 1  -  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  / 
3 ) )  e. 
_V
7876, 5, 77fvmpt 5602 . . . . 5  |-  ( ( F `  k )  e.  CC  ->  ( H `  ( F `  k ) )  =  ( 1  -  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  /  3 ) ) )
7922, 78syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  ( F `  k
) )  =  ( 1  -  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  /  3 ) ) )
8056, 79eqtrd 2315 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( H  o.  F ) `  k )  =  ( 1  -  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  /  3 ) ) )
81 1re 8837 . . . 4  |-  1  e.  RR
8221resqcld 11271 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  RR )
83 3nn 9878 . . . . 5  |-  3  e.  NN
84 nndivre 9781 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR )
8582, 83, 84sylancl 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( F `  k
) ^ 2 )  /  3 )  e.  RR )
86 resubcl 9111 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  /  3
) )  e.  RR )
8781, 85, 86sylancr 644 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( 1  -  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  / 
3 ) )  e.  RR )
8880, 87eqeltrd 2357 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( H  o.  F ) `  k )  e.  RR )
89 fvco3 5596 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( RR 
\  { 0 } )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G  o.  F
) `  k )  =  ( G `  ( F `  k ) ) )
907, 89sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( G  o.  F ) `
 k )  =  ( G `  ( F `  k )
) )
9116, 90syldan 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  =  ( G `  ( F `
 k ) ) )
92 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  ( sin `  x )  =  ( sin `  ( F `  k )
) )
93 id 19 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  x  =  ( F `  k ) )
9492, 93oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  (
( sin `  x
)  /  x )  =  ( ( sin `  ( F `  k
) )  /  ( F `  k )
) )
95 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( ( sin `  ( F `
 k ) )  /  ( F `  k ) )  e. 
_V
9694, 70, 95fvmpt 5602 . . . . 5  |-  ( ( F `  k )  e.  ( RR  \  { 0 } )  ->  ( G `  ( F `  k ) )  =  ( ( sin `  ( F `
 k ) )  /  ( F `  k ) ) )
9718, 96syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  ( F `  k
) )  =  ( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) )
9891, 97eqtrd 2315 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  =  ( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) )
9921resincld 12423 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( sin `  ( F `  k
) )  e.  RR )
10020simprd 449 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =/=  0
)
10199, 21, 100redivcld 9588 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( sin `  ( F `  k ) )  / 
( F `  k
) )  e.  RR )
10298, 101eqeltrd 2357 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  RR )
10323a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  1  e.  CC )
10485recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( F `  k
) ^ 2 )  /  3 )  e.  CC )
10522abscld 11918 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR )
106105recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  CC )
107103, 104, 106subdird 9236 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
1  -  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( 1  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) )  -  ( ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  /  3 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) ) )
108106mulid2d 8853 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( 1  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( abs `  ( F `
 k ) ) )
109 df-3 9805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  =  ( 2  +  1 )
110109oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) ) ^ 3 )  =  ( ( abs `  ( F `  k )
) ^ ( 2  +  1 ) )
111 2nn0 9982 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN0
112 expp1 11110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( ( abs `  ( F `  k )
) ^ ( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( abs `  ( F `
 k ) ) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
113106, 111, 112sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) ) ^
( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( abs `  ( F `  k )
) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
114 absresq 11787 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  k )  e.  RR  ->  (
( abs `  ( F `  k )
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 k ) ^
2 ) )
11521, 114syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) ) ^
2 )  =  ( ( F `  k
) ^ 2 ) )
116115oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( abs `  ( F `  k )
) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
117113, 116eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) ) ^
( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
118110, 117syl5eq 2327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) ) ^
3 )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
119118oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( abs `  ( F `  k )
) ^ 3 )  /  3 )  =  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  /  3
) )
12082recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  CC )
12125a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  3  e.  CC )
12226a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  3  =/=  0 )
123120, 106, 121, 122div23d 9573 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  / 
3 )  =  ( ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  /  3
)  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
124119, 123eqtr2d 2316 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) ^ 2 )  /  3 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( ( abs `  ( F `  k )
) ^ 3 )  /  3 ) )
125108, 124oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
1  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  -  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  / 
3 )  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  -  ( ( ( abs `  ( F `
 k ) ) ^ 3 )  / 
3 ) ) )
126107, 125eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
1  -  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( ( ( abs `  ( F `  k )
) ^ 3 )  /  3 ) ) )
12722, 100absrpcld 11930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR+ )
128127rpgt0d 10393 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  0  <  ( abs `  ( F `
 k ) ) )
129 sinccvg.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  1
)
130 ltle 8910 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <  1  ->  ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  1 ) )
131105, 81, 130sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  <  1  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  1
) )
132129, 131mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  1
)
133 0xr 8878 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
134 elioc2 10713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( F `  k )
)  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR  /\  0  < 
( abs `  ( F `  k )
)  /\  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  1
) ) )
135133, 81, 134mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR  /\  0  < 
( abs `  ( F `  k )
)  /\  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  1
) )
136105, 128, 132, 135syl3anbrc 1136 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  ( 0 (,] 1 ) )
137 sin01bnd 12465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( ( ( abs `  ( F `  k )
) ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /\  ( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  <  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
138136, 137syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( abs `  ( F `  k )
)  -  ( ( ( abs `  ( F `  k )
) ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /\  ( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  <  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
139138simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  -  ( ( ( abs `  ( F `  k
) ) ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
140126, 139eqbrtrd 4043 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
1  -  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <  ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
141105resincld 12423 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  e.  RR )
14287, 141, 127ltmuldivd 10433 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( 1  -  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  < 
( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  <-> 
( 1  -  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  /  3 ) )  <  ( ( sin `  ( abs `  ( F `  k
) ) )  / 
( abs `  ( F `  k )
) ) ) )
143140, 142mpbid 201 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( 1  -  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  / 
3 ) )  < 
( ( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
144 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  =  ( F `  k )  ->  ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( sin `  ( F `
 k ) ) )
145 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  =  ( F `  k )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
) )
146144, 145oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  =  ( F `  k )  ->  (
( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) )
147146a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
)  ->  ( ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  /  ( abs `  ( F `  k ) ) )  =  ( ( sin `  ( F `  k
) )  /  ( F `  k )
) ) )
148 sinneg 12426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  k )  e.  CC  ->  ( sin `  -u ( F `  k ) )  = 
-u ( sin `  ( F `  k )
) )
14922, 148syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( sin `  -u ( F `  k
) )  =  -u ( sin `  ( F `
 k ) ) )
150149oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( sin `  -u ( F `  k ) )  /  -u ( F `  k
) )  =  (
-u ( sin `  ( F `  k )
)  /  -u ( F `  k )
) )
15199recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( sin `  ( F `  k
) )  e.  CC )
152151, 22, 100div2negd 9551 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( -u ( sin `  ( F `  k ) )  /  -u ( F `  k
) )  =  ( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) )
153150, 152eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( sin `  -u ( F `  k ) )  /  -u ( F `  k
) )  =  ( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) )
154 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  =  -u ( F `  k )  ->  ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( sin `  -u ( F `  k )
) )
155 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  =  -u ( F `  k )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  = 
-u ( F `  k ) )
156154, 155oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  =  -u ( F `  k )  ->  (
( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( sin `  -u ( F `  k )
)  /  -u ( F `  k )
) )
157156eqeq1d 2291 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  =  -u ( F `  k )  ->  (
( ( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) )  <-> 
( ( sin `  -u ( F `  k )
)  /  -u ( F `  k )
)  =  ( ( sin `  ( F `
 k ) )  /  ( F `  k ) ) ) )
158153, 157syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  = 
-u ( F `  k )  ->  (
( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) ) )
15921absord 11898 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
)  \/  ( abs `  ( F `  k
) )  =  -u ( F `  k ) ) )
160147, 158, 159mpjaod 370 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  /  ( abs `  ( F `  k ) ) )  =  ( ( sin `  ( F `  k
) )  /  ( F `  k )
) )
161143, 160breqtrd 4047 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( 1  -  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  / 
3 ) )  < 
( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) )
16287, 101, 161ltled 8967 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( 1  -  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  / 
3 ) )  <_ 
( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) )
163162, 80, 983brtr4d 4053 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( H  o.  F ) `  k )  <_  (
( G  o.  F
) `  k )
)
16481a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  1  e.  RR )
165138simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  <  ( abs `  ( F `  k ) ) )
166106mulid1d 8852 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  x.  1 )  =  ( abs `  ( F `
 k ) ) )
167165, 166breqtrrd 4049 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  <  (
( abs `  ( F `  k )
)  x.  1 ) )
168141, 164, 127ltdivmuld 10437 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k )
) )  <  1  <->  ( sin `  ( abs `  ( F `  k
) ) )  < 
( ( abs `  ( F `  k )
)  x.  1 ) ) )
169167, 168mpbird 223 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  /  ( abs `  ( F `  k ) ) )  <  1 )
170160, 169eqbrtrrd 4045 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( sin `  ( F `  k ) )  / 
( F `  k
) )  <  1
)
171101, 164, 170ltled 8967 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( sin `  ( F `  k ) )  / 
( F `  k
) )  <_  1
)
17298, 171eqbrtrd 4043 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  <_  1
)
1731, 3, 69, 73, 88, 102, 163, 172climsqz 12114 1  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  ~~>  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    o. ccom 4693   Fun wfun 5249   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   NN0cn0 9965   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   (,]cioc 10657   ^cexp 11104   abscabs 11719    ~~> cli 11958   sincsin 12345   TopOpenctopn 13326  ℂfldccnfld 16377  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954    tX ctx 17255   -cn->ccncf 18380
This theorem is referenced by:  sinccvg  24006
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382
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