Mathbox for Paul Chapman < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sinccvglem Structured version   Unicode version

Theorem sinccvglem 25111
 Description: as (real) . (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sinccvg.1
sinccvg.2
sinccvg.3
sinccvg.4
sinccvg.5
sinccvg.6
Assertion
Ref Expression
sinccvglem
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem sinccvglem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . 2
2 sinccvg.5 . . 3
32nnzd 10376 . 2
4 sinccvg.2 . . . 4
5 sinccvg.4 . . . . . 6
65funmpt2 5492 . . . . 5
7 sinccvg.1 . . . . . 6
8 nnex 10008 . . . . . 6
9 fex 5971 . . . . . 6
107, 8, 9sylancl 645 . . . . 5
11 cofunexg 5961 . . . . 5
126, 10, 11sylancr 646 . . . 4
137adantr 453 . . . . . . . 8
14 nnuz 10523 . . . . . . . . . 10
1514uztrn2 10505 . . . . . . . . 9
162, 15sylan 459 . . . . . . . 8
1713, 16ffvelrnd 5873 . . . . . . 7
18 eldifsn 3929 . . . . . . 7
1917, 18sylib 190 . . . . . 6
2019simpld 447 . . . . 5
2120recnd 9116 . . . 4
22 ax-1cn 9050 . . . . . 6
23 sqcl 11446 . . . . . . 7
24 3cn 10074 . . . . . . . 8
25 3ne0 10087 . . . . . . . 8
26 divcl 9686 . . . . . . . 8
2724, 25, 26mp3an23 1272 . . . . . . 7
2823, 27syl 16 . . . . . 6
29 subcl 9307 . . . . . 6
3022, 28, 29sylancr 646 . . . . 5
315, 30fmpti 5894 . . . 4
32 eqid 2438 . . . . . . . . . 10 fld fld
3332cnfldtopon 18819 . . . . . . . . 9 fld TopOn
3433a1i 11 . . . . . . . 8 fld TopOn
3522a1i 11 . . . . . . . . 9
3634, 34, 35cnmptc 17696 . . . . . . . 8 fld fld
3732sqcn 18906 . . . . . . . . . 10 fld fld
3837a1i 11 . . . . . . . . 9 fld fld
3932divccn 18905 . . . . . . . . . . 11 fld fld
4024, 25, 39mp2an 655 . . . . . . . . . 10 fld fld
4140a1i 11 . . . . . . . . 9 fld fld
42 oveq1 6090 . . . . . . . . 9
4334, 38, 34, 41, 42cnmpt11 17697 . . . . . . . 8 fld fld
4432subcn 18898 . . . . . . . . 9 fld fld fld
4544a1i 11 . . . . . . . 8 fld fld fld
4634, 36, 43, 45cnmpt12f 17700 . . . . . . 7 fld fld
4746trud 1333 . . . . . 6 fld fld
4832cncfcn1 18942 . . . . . 6 fld fld
4947, 5, 483eltr4i 2517 . . . . 5
50 cncfi 18926 . . . . 5
5149, 50mp3an1 1267 . . . 4
52 fvco3 5802 . . . . . 6
537, 52sylan 459 . . . . 5
5416, 53syldan 458 . . . 4
551, 4, 12, 3, 21, 31, 51, 54climcn1lem 12398 . . 3
56 0cn 9086 . . . 4
57 sq0i 11476 . . . . . . . . 9
5857oveq1d 6098 . . . . . . . 8
5924, 25div0i 9750 . . . . . . . 8
6058, 59syl6eq 2486 . . . . . . 7
6160oveq2d 6099 . . . . . 6
6222subid1i 9374 . . . . . 6
6361, 62syl6eq 2486 . . . . 5
64 1ex 9088 . . . . 5
6563, 5, 64fvmpt 5808 . . . 4
6656, 65ax-mp 8 . . 3
6755, 66syl6breq 4253 . 2
68 sinccvg.3 . . . 4
6968funmpt2 5492 . . 3
70 cofunexg 5961 . . 3
7169, 10, 70sylancr 646 . 2
72 oveq1 6090 . . . . . . . 8
7372oveq1d 6098 . . . . . . 7
7473oveq2d 6099 . . . . . 6
75 ovex 6108 . . . . . 6
7674, 5, 75fvmpt 5808 . . . . 5
7721, 76syl 16 . . . 4
7854, 77eqtrd 2470 . . 3
79 1re 9092 . . . 4
8020resqcld 11551 . . . . 5
81 3nn 10136 . . . . 5
82 nndivre 10037 . . . . 5
8380, 81, 82sylancl 645 . . . 4
84 resubcl 9367 . . . 4
8579, 83, 84sylancr 646 . . 3
8678, 85eqeltrd 2512 . 2
87 fvco3 5802 . . . . . 6
887, 87sylan 459 . . . . 5
8916, 88syldan 458 . . . 4
90 fveq2 5730 . . . . . . 7
91 id 21 . . . . . . 7
9290, 91oveq12d 6101 . . . . . 6
93 ovex 6108 . . . . . 6
9492, 68, 93fvmpt 5808 . . . . 5
9517, 94syl 16 . . . 4
9689, 95eqtrd 2470 . . 3
9720resincld 12746 . . . 4
9819simprd 451 . . . 4
9997, 20, 98redivcld 9844 . . 3
10096, 99eqeltrd 2512 . 2
10122a1i 11 . . . . . . . . 9
10283recnd 9116 . . . . . . . . 9
10321abscld 12240 . . . . . . . . . 10
104103recnd 9116 . . . . . . . . 9
105101, 102, 104subdird 9492 . . . . . . . 8
106104mulid2d 9108 . . . . . . . . 9
107 df-3 10061 . . . . . . . . . . . . 13
108107oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . 12
109 2nn0 10240 . . . . . . . . . . . . . 14
110 expp1 11390 . . . . . . . . . . . . . 14
111104, 109, 110sylancl 645 . . . . . . . . . . . . 13
112 absresq 12109 . . . . . . . . . . . . . . 15
11320, 112syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
114113oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . 13
115111, 114eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12
116108, 115syl5eq 2482 . . . . . . . . . . 11
117116oveq1d 6098 . . . . . . . . . 10
11880recnd 9116 . . . . . . . . . . 11
11924a1i 11 . . . . . . . . . . 11
12025a1i 11 . . . . . . . . . . 11
121118, 104, 119, 120div23d 9829 . . . . . . . . . 10
122117, 121eqtr2d 2471 . . . . . . . . 9
123106, 122oveq12d 6101 . . . . . . . 8
124105, 123eqtrd 2470 . . . . . . 7
12521, 98absrpcld 12252 . . . . . . . . . . 11
126125rpgt0d 10653 . . . . . . . . . 10
127 sinccvg.6 . . . . . . . . . . 11
128 ltle 9165 . . . . . . . . . . . 12
129103, 79, 128sylancl 645 . . . . . . . . . . 11
130127, 129mpd 15 . . . . . . . . . 10
131 0xr 9133 . . . . . . . . . . 11
132 elioc2 10975 . . . . . . . . . . 11
133131, 79, 132mp2an 655 . . . . . . . . . 10
134103, 126, 130, 133syl3anbrc 1139 . . . . . . . . 9
135 sin01bnd 12788 . . . . . . . . 9
136134, 135syl 16 . . . . . . . 8
137136simpld 447 . . . . . . 7
138124, 137eqbrtrd 4234 . . . . . 6
139103resincld 12746 . . . . . . 7
14085, 139, 125ltmuldivd 10693 . . . . . 6
141138, 140mpbid 203 . . . . 5
142 fveq2 5730 . . . . . . . 8
143 id 21 . . . . . . . 8
144142, 143oveq12d 6101 . . . . . . 7
145144a1i 11 . . . . . 6
146 sinneg 12749 . . . . . . . . . 10
14721, 146syl 16 . . . . . . . . 9
148147oveq1d 6098 . . . . . . . 8
14997recnd 9116 . . . . . . . . 9
150149, 21, 98div2negd 9807 . . . . . . . 8
151148, 150eqtrd 2470 . . . . . . 7
152 fveq2 5730 . . . . . . . . 9
153 id 21 . . . . . . . . 9
154152, 153oveq12d 6101 . . . . . . . 8
155154eqeq1d 2446 . . . . . . 7
156151, 155syl5ibrcom 215 . . . . . 6
15720absord 12220 . . . . . 6
158145, 156, 157mpjaod 372 . . . . 5
159141, 158breqtrd 4238 . . . 4
16085, 99, 159ltled 9223 . . 3
161160, 78, 963brtr4d 4244 . 2
16279a1i 11 . . . 4
163136simprd 451 . . . . . . 7
164104mulid1d 9107 . . . . . . 7
165163, 164breqtrrd 4240 . . . . . 6
166139, 162, 125ltdivmuld 10697 . . . . . 6
167165, 166mpbird 225 . . . . 5
168158, 167eqbrtrrd 4236 . . . 4
16999, 162, 168ltled 9223 . . 3
17096, 169eqbrtrd 4234 . 2
1711, 3, 67, 71, 86, 100, 161, 170climsqz 12436 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wtru 1326   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958   cdif 3319  csn 3816   class class class wbr 4214   cmpt 4268   ccom 4884   wfun 5450  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cc 8990  cr 8991  cc0 8992  c1 8993   caddc 8995   cmul 8997  cxr 9121   clt 9122   cle 9123   cmin 9293  cneg 9294   cdiv 9679  cn 10002  c2 10051  c3 10052  cn0 10223  cuz 10490  crp 10614  cioc 10919  cexp 11384  cabs 12041   cli 12280  csin 12668  ctopn 13651  ℂfldccnfld 16705  TopOnctopon 16961   ccn 17290   ctx 17594  ccncf 18908 This theorem is referenced by:  sinccvg  25112 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-sin 12674  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910
 Copyright terms: Public domain W3C validator