MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincos2sgn Structured version   Unicode version

Theorem sincos2sgn 12797
Description: The signs of the sine and cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincos2sgn  |-  ( 0  <  ( sin `  2
)  /\  ( cos `  2 )  <  0
)

Proof of Theorem sincos2sgn
StepHypRef Expression
1 2re 10071 . . . 4  |-  2  e.  RR
2 2pos 10084 . . . 4  |-  0  <  2
31leidi 9563 . . . 4  |-  2  <_  2
4 0xr 9133 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
5 elioc2 10975 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  2  e.  RR )  ->  (
2  e.  ( 0 (,] 2 )  <->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2  /\  2  <_ 
2 ) ) )
64, 1, 5mp2an 655 . . . 4  |-  ( 2  e.  ( 0 (,] 2 )  <->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2  /\  2  <_ 
2 ) )
71, 2, 3, 6mpbir3an 1137 . . 3  |-  2  e.  ( 0 (,] 2
)
8 sin02gt0 12795 . . 3  |-  ( 2  e.  ( 0 (,] 2 )  ->  0  <  ( sin `  2
) )
97, 8ax-mp 8 . 2  |-  0  <  ( sin `  2
)
10 cos2bnd 12791 . . . 4  |-  ( -u ( 7  /  9
)  <  ( cos `  2 )  /\  ( cos `  2 )  <  -u ( 1  /  9
) )
1110simpri 450 . . 3  |-  ( cos `  2 )  <  -u ( 1  /  9
)
12 9re 10081 . . . . 5  |-  9  e.  RR
13 9pos 10093 . . . . 5  |-  0  <  9
1412, 13recgt0ii 9918 . . . 4  |-  0  <  ( 1  /  9
)
1512, 13gt0ne0ii 9565 . . . . . 6  |-  9  =/=  0
1612, 15rereccli 9781 . . . . 5  |-  ( 1  /  9 )  e.  RR
17 lt0neg2 9537 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  9 )  e.  RR  ->  (
0  <  ( 1  /  9 )  <->  -u ( 1  /  9 )  <  0 ) )
1816, 17ax-mp 8 . . . 4  |-  ( 0  <  ( 1  / 
9 )  <->  -u ( 1  /  9 )  <  0 )
1914, 18mpbi 201 . . 3  |-  -u (
1  /  9 )  <  0
20 recoscl 12744 . . . . 5  |-  ( 2  e.  RR  ->  ( cos `  2 )  e.  RR )
211, 20ax-mp 8 . . . 4  |-  ( cos `  2 )  e.  RR
2216renegcli 9364 . . . 4  |-  -u (
1  /  9 )  e.  RR
23 0re 9093 . . . 4  |-  0  e.  RR
2421, 22, 23lttri 9201 . . 3  |-  ( ( ( cos `  2
)  <  -u ( 1  /  9 )  /\  -u ( 1  /  9
)  <  0 )  ->  ( cos `  2
)  <  0 )
2511, 19, 24mp2an 655 . 2  |-  ( cos `  2 )  <  0
269, 25pm3.2i 443 1  |-  ( 0  <  ( sin `  2
)  /\  ( cos `  2 )  <  0
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    e. wcel 1726   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123   -ucneg 9294    / cdiv 9679   2c2 10051   7c7 10056   9c9 10058   (,]cioc 10919   sincsin 12668   cosccos 12669
This theorem is referenced by:  sin4lt0  12798  pilem3  20371
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-sin 12674  df-cos 12675
  Copyright terms: Public domain W3C validator