MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincos4thpi Unicode version

Theorem sincos4thpi 19881
Description: The sine and cosine of  pi  /  4. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincos4thpi  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  =  ( 1  / 
( sqr `  2
) )  /\  ( cos `  ( pi  / 
4 ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  2 ) ) )

Proof of Theorem sincos4thpi
StepHypRef Expression
1 2re 9815 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
2 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
31, 2rereccli 9525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
43recni 8849 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
5 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
6 2halves 9940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  1 )
75, 6ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) )  =  1
8 sincosq1eq 19880 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) )  =  1 )  ->  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  =  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )
94, 4, 7, 8mp3an 1277 . . . . . . . . 9  |-  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) ) )
109oveq2i 5869 . . . . . . . 8  |-  ( ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )
1110oveq2i 5869 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  ( ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  /  2
) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  /  2
) ) ) ) )
12 2cn 9816 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
13 pire 19832 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR
1413recni 8849 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  CC
155, 12, 14, 12, 2, 2divmuldivi 9520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( 1  x.  pi )  /  (
2  x.  2 ) )
1614mulid2i 8840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
17 2t2e4 9871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
1816, 17oveq12i 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  x.  pi )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( pi  /  4
)
1915, 18eqtri 2303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  4
)
2019fveq2i 5528 . . . . . . . . 9  |-  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( sin `  ( pi 
/  4 ) )
2120, 20oveq12i 5870 . . . . . . . 8  |-  ( ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) )
2221oveq2i 5869 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  ( ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  /  2
) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi  /  4
) )  x.  ( sin `  ( pi  / 
4 ) ) ) )
2312, 2recidi 9491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
2423oveq1i 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( 1  x.  (
pi  /  2 ) )
2513, 1, 2redivcli 9527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
2625recni 8849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
2712, 4, 26mulassi 8846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) )
2826mulid2i 8840 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
2924, 27, 283eqtr3i 2311 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( pi  /  2
)
3029fveq2i 5528 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  ( 2  x.  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( sin `  ( pi 
/  2 ) )
314, 26mulcli 8842 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  e.  CC
32 sin2t 12457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) )  e.  CC  ->  ( sin `  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) ) ) ) )
3331, 32ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  ( 2  x.  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) ) )
34 sinhalfpi 19836 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  ( pi  /  2
) )  =  1
3530, 33, 343eqtr3i 2311 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  ( ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  /  2
) ) ) ) )  =  1
3611, 22, 353eqtr3i 2311 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi  /  4
) )  x.  ( sin `  ( pi  / 
4 ) ) ) )  =  1
3736fveq2i 5528 . . . . 5  |-  ( sqr `  ( 2  x.  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) ) )  =  ( sqr `  1 )
38 4re 9819 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  RR
39 4pos 9832 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  4
4038, 39gt0ne0ii 9309 . . . . . . . . 9  |-  4  =/=  0
4113, 38, 40redivcli 9527 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  4 )  e.  RR
42 resincl 12420 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  4 )  e.  RR  ->  ( sin `  ( pi  / 
4 ) )  e.  RR )
4341, 42ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( sin `  ( pi  /  4
) )  e.  RR
4443, 43remulcli 8851 . . . . . 6  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  x.  ( sin `  (
pi  /  4 ) ) )  e.  RR
45 0re 8838 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
46 2pos 9828 . . . . . . 7  |-  0  <  2
4745, 1, 46ltleii 8941 . . . . . 6  |-  0  <_  2
4843msqge0i 9311 . . . . . 6  |-  0  <_  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) )
491, 44, 47, 48sqrmulii 11870 . . . . 5  |-  ( sqr `  ( 2  x.  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) ) )  =  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) ) )
50 sqr1 11757 . . . . 5  |-  ( sqr `  1 )  =  1
5137, 49, 503eqtr3ri 2312 . . . 4  |-  1  =  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) ) )
5244sqrcli 11855 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  ( ( sin `  ( pi  /  4
) )  x.  ( sin `  ( pi  / 
4 ) ) )  ->  ( sqr `  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  e.  RR )
5348, 52ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( sqr `  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  e.  RR
5453recni 8849 . . . . 5  |-  ( sqr `  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  e.  CC
55 sqr2re 12528 . . . . . . 7  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR
5655recni 8849 . . . . . 6  |-  ( sqr `  2 )  e.  CC
57 sqr00 11749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( ( sqr `  2
)  =  0  <->  2  =  0 ) )
581, 47, 57mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( sqr `  2 )  =  0  <->  2  = 
0 )
5958necon3bii 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( sqr `  2 )  =/=  0  <->  2  =/=  0 )
602, 59mpbir 200 . . . . . 6  |-  ( sqr `  2 )  =/=  0
6156, 60pm3.2i 441 . . . . 5  |-  ( ( sqr `  2 )  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 )
62 divmul2 9428 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( sqr `  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  x.  ( sin `  (
pi  /  4 ) ) ) )  e.  CC  /\  ( ( sqr `  2 )  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( 1  / 
( sqr `  2
) )  =  ( sqr `  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  x.  ( sin `  (
pi  /  4 ) ) ) )  <->  1  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) ) ) ) )
635, 54, 61, 62mp3an 1277 . . . 4  |-  ( ( 1  /  ( sqr `  2 ) )  =  ( sqr `  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  <->  1  =  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) ) ) )
6451, 63mpbir 200 . . 3  |-  ( 1  /  ( sqr `  2
) )  =  ( sqr `  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  x.  ( sin `  (
pi  /  4 ) ) ) )
65 pipos 19833 . . . . . . . 8  |-  0  <  pi
6613, 38, 65, 39divgt0ii 9674 . . . . . . 7  |-  0  <  ( pi  /  4
)
67 1re 8837 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
68 pigt2lt4 19830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  <  pi  /\  pi  <  4 )
6968simpri 448 . . . . . . . . . 10  |-  pi  <  4
7013, 38, 38, 39ltdiv1ii 9686 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
<  4  <->  ( pi  /  4 )  <  (
4  /  4 ) )
7169, 70mpbi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  4 )  < 
( 4  /  4
)
7238recni 8849 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  CC
7372, 40dividi 9493 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  /  4 )  =  1
7471, 73breqtri 4046 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  4 )  <  1
7541, 67, 74ltleii 8941 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  4 )  <_ 
1
76 0xr 8878 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
77 elioc2 10713 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  (
( pi  /  4
)  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( (
pi  /  4 )  e.  RR  /\  0  <  ( pi  /  4
)  /\  ( pi  /  4 )  <_  1
) ) )
7876, 67, 77mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  /  4 )  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( (
pi  /  4 )  e.  RR  /\  0  <  ( pi  /  4
)  /\  ( pi  /  4 )  <_  1
) )
7941, 66, 75, 78mpbir3an 1134 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  4 )  e.  ( 0 (,] 1
)
80 sin01gt0 12470 . . . . . 6  |-  ( ( pi  /  4 )  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <  ( sin `  (
pi  /  4 ) ) )
8179, 80ax-mp 8 . . . . 5  |-  0  <  ( sin `  (
pi  /  4 ) )
8245, 43, 81ltleii 8941 . . . 4  |-  0  <_  ( sin `  (
pi  /  4 ) )
8343sqrmsqi 11857 . . . 4  |-  ( 0  <_  ( sin `  (
pi  /  4 ) )  ->  ( sqr `  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  =  ( sin `  (
pi  /  4 ) ) )
8482, 83ax-mp 8 . . 3  |-  ( sqr `  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  =  ( sin `  (
pi  /  4 ) )
8564, 84eqtr2i 2304 . 2  |-  ( sin `  ( pi  /  4
) )  =  ( 1  /  ( sqr `  2 ) )
8664, 84eqtri 2303 . . 3  |-  ( 1  /  ( sqr `  2
) )  =  ( sin `  ( pi 
/  4 ) )
8719fveq2i 5528 . . . 4  |-  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  4 ) )
889, 20, 873eqtr3i 2311 . . 3  |-  ( sin `  ( pi  /  4
) )  =  ( cos `  ( pi 
/  4 ) )
8986, 88eqtr2i 2304 . 2  |-  ( cos `  ( pi  /  4
) )  =  ( 1  /  ( sqr `  2 ) )
9085, 89pm3.2i 441 1  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  =  ( 1  / 
( sqr `  2
) )  /\  ( cos `  ( pi  / 
4 ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   2c2 9795   4c4 9797   (,]cioc 10657   sqrcsqr 11718   sincsin 12345   cosccos 12346   picpi 12348
This theorem is referenced by:  tan4thpi  19882
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
  Copyright terms: Public domain W3C validator