MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincos6thpi Structured version   Unicode version

Theorem sincos6thpi 20423
Description: The sine and cosine of  pi  /  6. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincos6thpi  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) )  =  ( 1  / 
2 )  /\  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 ) )

Proof of Theorem sincos6thpi
StepHypRef Expression
1 2cn 10070 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
2 pire 20372 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  RR
3 6re 10076 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  RR
4 6pos 10088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  6
53, 4gt0ne0ii 9563 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  =/=  0
62, 3, 5redivcli 9781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi 
/  6 )  e.  RR
76recni 9102 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  6 )  e.  CC
8 sincl 12727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( pi  / 
6 ) )  e.  CC )
97, 8ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( sin `  ( pi  /  6
) )  e.  CC
10 recoscl 12742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  RR  ->  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  e.  RR )
116, 10ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( cos `  ( pi  /  6
) )  e.  RR
1211recni 9102 . . . . . . . . 9  |-  ( cos `  ( pi  /  6
) )  e.  CC
131, 9, 12mulassi 9099 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  /  6
) ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ) )
14 sin2t 12778 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( 2  x.  ( pi  /  6
) ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  (
pi  /  6 ) )  x.  ( cos `  ( pi  /  6
) ) ) ) )
157, 14ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  ( 2  x.  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ) )
1613, 15eqtr4i 2459 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  /  6
) ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( sin `  ( 2  x.  ( pi  / 
6 ) ) )
17 3cn 10072 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  CC
18 3ne0 10085 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =/=  0
191, 17, 18divcli 9756 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  /  3 )  e.  CC
2017, 18reccli 9744 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
21 df-3 10059 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  =  ( 2  +  1 )
2221oveq1i 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  /  3 )  =  ( ( 2  +  1 )  /  3
)
2317, 18dividi 9747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  /  3 )  =  1
24 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
251, 24, 17, 18divdiri 9771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  +  1 )  /  3 )  =  ( ( 2  / 
3 )  +  ( 1  /  3 ) )
2622, 23, 253eqtr3ri 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  /  3 )  +  ( 1  / 
3 ) )  =  1
27 sincosq1eq 20420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  /  3
)  e.  CC  /\  ( 1  /  3
)  e.  CC  /\  ( ( 2  / 
3 )  +  ( 1  /  3 ) )  =  1 )  ->  ( sin `  (
( 2  /  3
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  =  ( cos `  ( ( 1  / 
3 )  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )
2819, 20, 26, 27mp3an 1279 . . . . . . . . 9  |-  ( sin `  ( ( 2  / 
3 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( cos `  ( ( 1  /  3 )  x.  ( pi  / 
2 ) ) )
292recni 9102 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  CC
30 2ne0 10083 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
311, 17, 29, 1, 18, 30divmuldivi 9774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  /  (
3  x.  2 ) )
32 3t2e6 10128 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
3332oveq2i 6092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  pi )  /  ( 3  x.  2 ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  /  6
)
343recni 9102 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  CC
351, 29, 34, 5divassi 9770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  pi )  /  6 )  =  ( 2  x.  (
pi  /  6 ) )
3631, 33, 353eqtri 2460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( 2  x.  (
pi  /  6 ) )
3736fveq2i 5731 . . . . . . . . 9  |-  ( sin `  ( ( 2  / 
3 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( sin `  ( 2  x.  ( pi  / 
6 ) ) )
3828, 37eqtr3i 2458 . . . . . . . 8  |-  ( cos `  ( ( 1  / 
3 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( sin `  ( 2  x.  ( pi  / 
6 ) ) )
3924, 17, 29, 1, 18, 30divmuldivi 9774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  3 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( 1  x.  pi )  /  (
3  x.  2 ) )
4029mulid2i 9093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
4140, 32oveq12i 6093 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  x.  pi )  /  ( 3  x.  2 ) )  =  ( pi  /  6
)
4239, 41eqtri 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  3 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  6
)
4342fveq2i 5731 . . . . . . . 8  |-  ( cos `  ( ( 1  / 
3 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
4438, 43eqtr3i 2458 . . . . . . 7  |-  ( sin `  ( 2  x.  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
4516, 44eqtri 2456 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  /  6
) ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
4612mulid2i 9093 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
4745, 46eqtr4i 2459 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  /  6
) ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  ( pi  /  6
) ) )
481, 9mulcli 9095 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  e.  CC
49 pipos 20373 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  pi
502, 3, 49, 4divgt0ii 9928 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  ( pi  /  6
)
51 2lt6 10155 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  <  6
52 2pos 10082 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  2
53 2re 10069 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
5453, 3, 23pm3.2i 1132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  RR  /\  6  e.  RR  /\  pi  e.  RR )
55 ltdiv2OLD 9896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  6  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  /\  ( 0  <  2  /\  0  <  6  /\  0  <  pi ) )  ->  ( 2  <  6  <->  ( pi  /  6 )  <  (
pi  /  2 ) ) )
5654, 55mpan 652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  <  2  /\  0  <  6  /\  0  <  pi )  ->  ( 2  <  6  <->  ( pi  / 
6 )  <  (
pi  /  2 ) ) )
5752, 4, 49, 56mp3an 1279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  <  6  <->  ( pi  /  6 )  <  (
pi  /  2 ) )
5851, 57mpbi 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi 
/  6 )  < 
( pi  /  2
)
59 0re 9091 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
602, 53, 30redivcli 9781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
61 rexr 9130 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  e.  RR* )
62 rexr 9130 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR* )
63 elioo2 10957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
( pi  /  6
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( (
pi  /  6 )  e.  RR  /\  0  <  ( pi  /  6
)  /\  ( pi  /  6 )  <  (
pi  /  2 ) ) ) )
6461, 62, 63syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( pi 
/  6 )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( pi 
/  6 )  e.  RR  /\  0  < 
( pi  /  6
)  /\  ( pi  /  6 )  <  (
pi  /  2 ) ) ) )
6559, 60, 64mp2an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  <->  ( (
pi  /  6 )  e.  RR  /\  0  <  ( pi  /  6
)  /\  ( pi  /  6 )  <  (
pi  /  2 ) ) )
666, 50, 58, 65mpbir3an 1136 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  6 )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )
67 sincosq1sgn 20406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  ( sin `  ( pi  /  6
) )  /\  0  <  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ) )
6866, 67ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  <  ( sin `  (
pi  /  6 ) )  /\  0  < 
( cos `  (
pi  /  6 ) ) )
6968simpri 449 . . . . . . . 8  |-  0  <  ( cos `  (
pi  /  6 ) )
7011, 69gt0ne0ii 9563 . . . . . . 7  |-  ( cos `  ( pi  /  6
) )  =/=  0
7112, 70pm3.2i 442 . . . . . 6  |-  ( ( cos `  ( pi 
/  6 ) )  e.  CC  /\  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  =/=  0 )
72 mulcan2 9660 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  / 
6 ) ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( ( cos `  ( pi 
/  6 ) )  e.  CC  /\  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  x.  ( cos `  ( pi  / 
6 ) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  <->  ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  =  1 ) )
7348, 24, 71, 72mp3an 1279 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  ( sin `  ( pi  / 
6 ) ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  ( pi  /  6
) ) )  <->  ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  =  1 )
7447, 73mpbi 200 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  =  1
7524, 1, 9, 30divmuli 9768 . . . 4  |-  ( ( 1  /  2 )  =  ( sin `  (
pi  /  6 ) )  <->  ( 2  x.  ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )  =  1 )
7674, 75mpbir 201 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  =  ( sin `  (
pi  /  6 ) )
7776eqcomi 2440 . 2  |-  ( sin `  ( pi  /  6
) )  =  ( 1  /  2 )
78 3re 10071 . . . . . . . 8  |-  3  e.  RR
79 3pos 10084 . . . . . . . 8  |-  0  <  3
8078, 79sqrpclii 12186 . . . . . . 7  |-  ( sqr `  3 )  e.  RR
8180recni 9102 . . . . . 6  |-  ( sqr `  3 )  e.  CC
8281, 1, 30sqdivi 11466 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  3
)  /  2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  3 ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) )
8359, 78, 79ltleii 9196 . . . . . . 7  |-  0  <_  3
8478sqsqri 12179 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  3  ->  (
( sqr `  3
) ^ 2 )  =  3 )
8583, 84ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( sqr `  3 ) ^ 2 )  =  3
86 sq2 11477 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
8785, 86oveq12i 6093 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  3
) ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( 3  /  4
)
8882, 87eqtri 2456 . . . 4  |-  ( ( ( sqr `  3
)  /  2 ) ^ 2 )  =  ( 3  /  4
)
8988fveq2i 5731 . . 3  |-  ( sqr `  ( ( ( sqr `  3 )  / 
2 ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  ( 3  /  4 ) )
9078sqrge0i 12180 . . . . . 6  |-  ( 0  <_  3  ->  0  <_  ( sqr `  3
) )
9183, 90ax-mp 8 . . . . 5  |-  0  <_  ( sqr `  3
)
9280, 53divge0i 9920 . . . . 5  |-  ( ( 0  <_  ( sqr `  3 )  /\  0  <  2 )  ->  0  <_  ( ( sqr `  3
)  /  2 ) )
9391, 52, 92mp2an 654 . . . 4  |-  0  <_  ( ( sqr `  3
)  /  2 )
9480, 53, 30redivcli 9781 . . . . 5  |-  ( ( sqr `  3 )  /  2 )  e.  RR
9594sqrsqi 12178 . . . 4  |-  ( 0  <_  ( ( sqr `  3 )  / 
2 )  ->  ( sqr `  ( ( ( sqr `  3 )  /  2 ) ^
2 ) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 ) )
9693, 95ax-mp 8 . . 3  |-  ( sqr `  ( ( ( sqr `  3 )  / 
2 ) ^ 2 ) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 )
97 4cn 10074 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
98 4re 10073 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  RR
99 4pos 10086 . . . . . . . . 9  |-  0  <  4
10098, 99gt0ne0ii 9563 . . . . . . . 8  |-  4  =/=  0
10197, 100dividi 9747 . . . . . . 7  |-  ( 4  /  4 )  =  1
102101oveq1i 6091 . . . . . 6  |-  ( ( 4  /  4 )  -  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  4 ) )
10397, 100pm3.2i 442 . . . . . . . 8  |-  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )
104 divsubdir 9710 . . . . . . . 8  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )  ->  ( ( 4  -  1 )  / 
4 )  =  ( ( 4  /  4
)  -  ( 1  /  4 ) ) )
10597, 24, 103, 104mp3an 1279 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  -  1 )  /  4 )  =  ( ( 4  / 
4 )  -  (
1  /  4 ) )
106 3p1e4 10104 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  +  1 )  =  4
10797, 24, 17subadd2i 9388 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4  -  1 )  =  3  <->  ( 3  +  1 )  =  4 )
108106, 107mpbir 201 . . . . . . . 8  |-  ( 4  -  1 )  =  3
109108oveq1i 6091 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  -  1 )  /  4 )  =  ( 3  /  4
)
110105, 109eqtr3i 2458 . . . . . 6  |-  ( ( 4  /  4 )  -  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 3  /  4
)
11197, 100reccli 9744 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  4 )  e.  CC
11212sqcli 11462 . . . . . . 7  |-  ( ( cos `  ( pi 
/  6 ) ) ^ 2 )  e.  CC
11377oveq1i 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) ) ^ 2 )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ 2 )
1141, 30sqrecii 11464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ 2 )  =  ( 1  /  (
2 ^ 2 ) )
11586oveq2i 6092 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( 1  /  4
)
116113, 114, 1153eqtri 2460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) ) ^ 2 )  =  ( 1  /  4
)
117116oveq1i 6091 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( sin `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  6
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  /  4
)  +  ( ( cos `  ( pi 
/  6 ) ) ^ 2 ) )
118 sincossq 12777 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  CC  ->  (
( ( sin `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  6
) ) ^ 2 ) )  =  1 )
1197, 118ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( sin `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  6
) ) ^ 2 ) )  =  1
120117, 119eqtr3i 2458 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  4 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  6
) ) ^ 2 ) )  =  1
12124, 111, 112, 120subaddrii 9389 . . . . . 6  |-  ( 1  -  ( 1  / 
4 ) )  =  ( ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 )
122102, 110, 1213eqtr3ri 2465 . . . . 5  |-  ( ( cos `  ( pi 
/  6 ) ) ^ 2 )  =  ( 3  /  4
)
123122fveq2i 5731 . . . 4  |-  ( sqr `  ( ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  ( 3  /  4
) )
12459, 11, 69ltleii 9196 . . . . 5  |-  0  <_  ( cos `  (
pi  /  6 ) )
12511sqrsqi 12178 . . . . 5  |-  ( 0  <_  ( cos `  (
pi  /  6 ) )  ->  ( sqr `  ( ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 ) )  =  ( cos `  ( pi  /  6
) ) )
126124, 125ax-mp 8 . . . 4  |-  ( sqr `  ( ( cos `  (
pi  /  6 ) ) ^ 2 ) )  =  ( cos `  ( pi  /  6
) )
127123, 126eqtr3i 2458 . . 3  |-  ( sqr `  ( 3  /  4
) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
12889, 96, 1273eqtr3ri 2465 . 2  |-  ( cos `  ( pi  /  6
) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 )
12977, 128pm3.2i 442 1  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) )  =  ( 1  / 
2 )  /\  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   2c2 10049   3c3 10050   4c4 10051   6c6 10053   (,)cioo 10916   ^cexp 11382   sqrcsqr 12038   sincsin 12666   cosccos 12667   picpi 12669
This theorem is referenced by:  sincos3rdpi  20424  1cubrlem  20681
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-ef 12670  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754
  Copyright terms: Public domain W3C validator