Theorem sincossqt 7461

Description: Sine squared plus cosine squared is 1. Equation 17 of [Gleason] p. 311. Note that this holds for non-real arguments, even though individually each term is unbounded.

Assertion

Ref	Expression
sincossqt	|- (A e. CC -> (((sin` A)^2) + ((cos` A)^2)) = 1)

Proof of Theorem sincossqt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negclt 5368	. . 3 |- (A e. CC -> -uA e. CC)
2		cosaddt 7454	. . 3 |- ((A e. CC /\ -uA e. CC) -> (cos` (A + -uA)) = (((cos` A) x. (cos` -uA)) - ((sin` A) x. (sin` -uA))))
3	1, 2	mpdan 704	. 2 |- (A e. CC -> (cos` (A + -uA)) = (((cos` A) x. (cos` -uA)) - ((sin` A) x. (sin` -uA))))
4		negidt 5379	. . . 4 |- (A e. CC -> (A + -uA) = 0)
5	4	fveq2d 3728	. . 3 |- (A e. CC -> (cos` (A + -uA)) = (cos` 0))
6		cos0 7446	. . 3 |- (cos` 0) = 1
7	5, 6	syl6eq 1523	. 2 |- (A e. CC -> (cos` (A + -uA)) = 1)
8		axaddcom 5275	. . . 4 |- ((((sin` A)^2) e. CC /\ ((cos` A)^2) e. CC) -> (((sin` A)^2) + ((cos` A)^2)) = (((cos` A)^2) + ((sin` A)^2)))
9		sinclt 7431	. . . . 5 |- (A e. CC -> (sin` A) e. CC)
10		sqclt 6611	. . . . 5 |- ((sin` A) e. CC -> ((sin` A)^2) e. CC)
11	9, 10	syl 10	. . . 4 |- (A e. CC -> ((sin` A)^2) e. CC)
12		cosclt 7432	. . . . 5 |- (A e. CC -> (cos` A) e. CC)
13		sqclt 6611	. . . . 5 |- ((cos` A) e. CC -> ((cos` A)^2) e. CC)
14	12, 13	syl 10	. . . 4 |- (A e. CC -> ((cos` A)^2) e. CC)
15	8, 11, 14	sylanc 471	. . 3 |- (A e. CC -> (((sin` A)^2) + ((cos` A)^2)) = (((cos` A)^2) + ((sin` A)^2)))
16		sqvalt 6609	. . . . . 6 |- ((cos` A) e. CC -> ((cos` A)^2) = ((cos` A) x. (cos` A)))
17	12, 16	syl 10	. . . . 5 |- (A e. CC -> ((cos` A)^2) = ((cos` A) x. (cos` A)))
18		cosnegt 7443	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (cos` -uA) = (cos` A))
19	18	opreq2d 3976	. . . . 5 |- (A e. CC -> ((cos` A) x. (cos` -uA)) = ((cos` A) x. (cos` A)))
20	17, 19	eqtr4d 1510	. . . 4 |- (A e. CC -> ((cos` A)^2) = ((cos` A) x. (cos` -uA)))
21		sqvalt 6609	. . . . . 6 |- ((sin` A) e. CC -> ((sin` A)^2) = ((sin` A) x. (sin` A)))
22	9, 21	syl 10	. . . . 5 |- (A e. CC -> ((sin` A)^2) = ((sin` A) x. (sin` A)))
23		sinnegt 7442	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (sin` -uA) = -u(sin` A))
24	23	negeqd 5361	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> -u(sin` -uA) = -u-u(sin` A))
25		negnegt 5393	. . . . . . . 8 |- ((sin` A) e. CC -> -u-u(sin` A) = (sin` A))
26	9, 25	syl 10	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> -u-u(sin` A) = (sin` A))
27	24, 26	eqtrd 1507	. . . . . 6 |- (A e. CC -> -u(sin` -uA) = (sin` A))
28	27	opreq2d 3976	. . . . 5 |- (A e. CC -> ((sin` A) x. -u(sin` -uA)) = ((sin` A) x. (sin` A)))
29		mulneg2t 5452	. . . . . 6 |- (((sin` A) e. CC /\ (sin` -uA) e. CC) -> ((sin` A) x. -u(sin` -uA)) = -u((sin` A) x. (sin` -uA)))
30		sinclt 7431	. . . . . . 7 |- (-uA e. CC -> (sin` -uA) e. CC)
31	1, 30	syl 10	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (sin` -uA) e. CC)
32	29, 9, 31	sylanc 471	. . . . 5 |- (A e. CC -> ((sin` A) x. -u(sin` -uA)) = -u((sin` A) x. (sin` -uA)))
33	22, 28, 32	3eqtr2d 1513	. . . 4 |- (A e. CC -> ((sin` A)^2) = -u((sin` A) x. (sin` -uA)))
34	20, 33	opreq12d 3978	. . 3 |- (A e. CC -> (((cos` A)^2) + ((sin` A)^2)) = (((cos` A) x. (cos` -uA)) + -u((sin` A) x. (sin` -uA))))
35		negsubt 5382	. . . 4 |- ((((cos` A) x. (cos` -uA)) e. CC /\ ((sin` A) x. (sin` -uA)) e. CC) -> (((cos` A) x. (cos` -uA)) + -u((sin` A) x. (sin` -uA))) = (((cos` A) x. (cos` -uA)) - ((sin` A) x. (sin` -uA))))
36		axmulcl 5273	. . . . 5 |- (((cos` A) e. CC /\ (cos` -uA) e. CC) -> ((cos` A) x. (cos` -uA)) e. CC)
37		cosclt 7432	. . . . . 6 |- (-uA e. CC -> (cos` -uA) e. CC)
38	1, 37	syl 10	. . . . 5 |- (A e. CC -> (cos` -uA) e. CC)
39	36, 12, 38	sylanc 471	. . . 4 |- (A e. CC -> ((cos` A) x. (cos` -uA)) e. CC)
40		axmulcl 5273	. . . . 5 |- (((sin` A) e. CC /\ (sin` -uA) e. CC) -> ((sin` A) x. (sin` -uA)) e. CC)
41	40, 9, 31	sylanc 471	. . . 4 |- (A e. CC -> ((sin` A) x. (sin` -uA)) e. CC)
42	35, 39, 41	sylanc 471	. . 3 |- (A e. CC -> (((cos` A) x. (cos` -uA)) + -u((sin` A) x. (sin` -uA))) = (((cos` A) x. (cos` -uA)) - ((sin` A) x. (sin` -uA))))
43	15, 34, 42	3eqtrrd 1512	. 2 |- (A e. CC -> (((cos` A) x. (cos` -uA)) - ((sin` A) x. (sin` -uA))) = (((sin` A)^2) + ((cos` A)^2)))
44	3, 7, 43	3eqtr3rd 1516	1 |- (A e. CC -> (((sin` A)^2) + ((cos` A)^2)) = 1)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239   - cmin 5292  -ucneg 5293  2c2 5961  ^cexp 6568  sincsin 7295  cosccos 7296

This theorem is referenced by:  cos2tt 7463  cos2tOLD 7464  sinbndt 7465  cosbndt 7466  absefit 7482  sinhalfpilem 8679  sincos6thpi 8711  efifolem2 8723

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-seq0 6534  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-fac 6932  df-bc 6957  df-clim 6975  df-sum 6980  df-ef 7298  df-sin 7300  df-cos 7301

Copyright terms: Public domain