Theorem sinhalfpilem 8679

Description: Lemma for sinhalfpi 8680 and coshalfpi 8681.

Assertion

Ref	Expression
sinhalfpilem	|- ((sin` (pi / 2)) = 1 /\ (cos` (pi / 2)) = 0)

Proof of Theorem sinhalfpilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt01 5680	. . . . . 6 |- 0 < 1
2		0re 5440	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
3		1re 5435	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
4	2, 3	ltnsym 5577	. . . . . 6 |- (0 < 1 -> -. 1 < 0)
5	1, 4	ax-mp 7	. . . . 5 |- -. 1 < 0
6		lt0neg1t 5668	. . . . . 6 |- (1 e. RR -> (1 < 0 <-> 0 < -u1))
7	3, 6	ax-mp 7	. . . . 5 |- (1 < 0 <-> 0 < -u1)
8	5, 7	mtbi 191	. . . 4 |- -. 0 < -u1
9		pire 8677	. . . . . . . 8 |- pi e. RR
10		2re 5979	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
11		2ne0 5990	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
12	9, 10, 11	redivcl 5798	. . . . . . 7 |- (pi / 2) e. RR
13		pipos 8678	. . . . . . . 8 |- 0 < pi
14		2pos 5989	. . . . . . . 8 |- 0 < 2
15	9, 10, 13, 14	divgt0i 5860	. . . . . . 7 |- 0 < (pi / 2)
16		4re 5982	. . . . . . . . 9 |- 4 e. RR
17		pigt2lt4 8675	. . . . . . . . . 10 |- (2 < pi /\ pi < 4)
18	17	pm3.27i 324	. . . . . . . . 9 |- pi < 4
19	9, 16, 18	ltlei 5581	. . . . . . . 8 |- pi <_ 4
20		ledivmultOLD 5869	. . . . . . . . . . 11 |- (((pi e. RR /\ 2 e. RR /\ 2 e. RR) /\ 0 < 2) -> ((pi / 2) <_ 2 <-> pi <_ (2 x. 2)))
21	14, 20	mpan2 696	. . . . . . . . . 10 |- ((pi e. RR /\ 2 e. RR /\ 2 e. RR) -> ((pi / 2) <_ 2 <-> pi <_ (2 x. 2)))
22	9, 10, 10, 21	mp3an 916	. . . . . . . . 9 |- ((pi / 2) <_ 2 <-> pi <_ (2 x. 2))
23		2t2e4 6022	. . . . . . . . . 10 |- (2 x. 2) = 4
24	23	breq2i 2627	. . . . . . . . 9 |- (pi <_ (2 x. 2) <-> pi <_ 4)
25	22, 24	bitr2 174	. . . . . . . 8 |- (pi <_ 4 <-> (pi / 2) <_ 2)
26	19, 25	mpbi 189	. . . . . . 7 |- (pi / 2) <_ 2
27		elioc2t 6390	. . . . . . . . 9 |- ((0 e. RR /\ 2 e. RR) -> ((pi / 2) e. (0(,]2) <-> ((pi / 2) e. RR /\ 0 < (pi / 2) /\ (pi / 2) <_ 2)))
28	2, 10, 27	mp2an 697	. . . . . . . 8 |- ((pi / 2) e. (0(,]2) <-> ((pi / 2) e. RR /\ 0 < (pi / 2) /\ (pi / 2) <_ 2))
29	28	biimpr 152	. . . . . . 7 |- (((pi / 2) e. RR /\ 0 < (pi / 2) /\ (pi / 2) <_ 2) -> (pi / 2) e. (0(,]2))
30	12, 15, 26, 29	mp3an 916	. . . . . 6 |- (pi / 2) e. (0(,]2)
31		sin02gt0 7478	. . . . . 6 |- ((pi / 2) e. (0(,]2) -> 0 < (sin` (pi / 2)))
32	30, 31	ax-mp 7	. . . . 5 |- 0 < (sin` (pi / 2))
33		breq2 2623	. . . . 5 |- ((sin` (pi / 2)) = -u1 -> (0 < (sin` (pi / 2)) <-> 0 < -u1))
34	32, 33	mpbii 193	. . . 4 |- ((sin` (pi / 2)) = -u1 -> 0 < -u1)
35	8, 34	mto 106	. . 3 |- -. (sin` (pi / 2)) = -u1
36		resinclt 7438	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((pi / 2) e. RR -> (sin` (pi / 2)) e. RR)
37	12, 36	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 |- (sin` (pi / 2)) e. RR
38	37, 32	gt0ne0i 5617	. . . . . . . . . . . 12 |- (sin` (pi / 2)) =/= 0
39		df-ne 1587	. . . . . . . . . . . 12 |- ((sin` (pi / 2)) =/= 0 <-> -. (sin` (pi / 2)) = 0)
40	38, 39	mpbi 189	. . . . . . . . . . 11 |- -. (sin` (pi / 2)) = 0
41		df-ne 1587	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (2 =/= 0 <-> -. 2 = 0)
42	11, 41	mpbi 189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. 2 = 0
43	9	recn 5314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- pi e. CC
44		2cn 5980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. CC
45	43, 44, 11	divcan2 5716	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (2 x. (pi / 2)) = pi
46	45	fveq2i 3727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (sin` (2 x. (pi / 2))) = (sin` pi)
47	12	recn 5314	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (pi / 2) e. CC
48		sin2tt 7462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((pi / 2) e. CC -> (sin` (2 x. (pi / 2))) = (2 x. ((sin` (pi / 2)) x. (cos` (pi / 2)))))
49	47, 48	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (sin` (2 x. (pi / 2))) = (2 x. ((sin` (pi / 2)) x. (cos` (pi / 2))))
50		sinpi 8676	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (sin` pi) = 0
51	46, 49, 50	3eqtr3 1503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (2 x. ((sin` (pi / 2)) x. (cos` (pi / 2)))) = 0
52		sinclt 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((pi / 2) e. CC -> (sin` (pi / 2)) e. CC)
53	47, 52	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (sin` (pi / 2)) e. CC
54		cosclt 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((pi / 2) e. CC -> (cos` (pi / 2)) e. CC)
55	47, 54	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (cos` (pi / 2)) e. CC
56	53, 55	mulcl 5321	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((sin` (pi / 2)) x. (cos` (pi / 2))) e. CC
57	44, 56	mul0or 5694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((2 x. ((sin` (pi / 2)) x. (cos` (pi / 2)))) = 0 <-> (2 = 0 \/ ((sin` (pi / 2)) x. (cos` (pi / 2))) = 0))
58	51, 57	mpbi 189	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (2 = 0 \/ ((sin` (pi / 2)) x. (cos` (pi / 2))) = 0)
59	58	ori 230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. 2 = 0 -> ((sin` (pi / 2)) x. (cos` (pi / 2))) = 0)
60	42, 59	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((sin` (pi / 2)) x. (cos` (pi / 2))) = 0
61	53, 55	mul0or 5694	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((sin` (pi / 2)) x. (cos` (pi / 2))) = 0 <-> ((sin` (pi / 2)) = 0 \/ (cos` (pi / 2)) = 0))
62	60, 61	mpbi 189	. . . . . . . . . . . 12 |- ((sin` (pi / 2)) = 0 \/ (cos` (pi / 2)) = 0)
63	62	ori 230	. . . . . . . . . . 11 |- (-. (sin` (pi / 2)) = 0 -> (cos` (pi / 2)) = 0)
64	40, 63	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- (cos` (pi / 2)) = 0
65	64	opreq1i 3971	. . . . . . . . 9 |- ((cos` (pi / 2))^2) = (0^2)
66		sq0 6635	. . . . . . . . 9 |- (0^2) = 0
67	65, 66	eqtr 1495	. . . . . . . 8 |- ((cos` (pi / 2))^2) = 0
68	67	opreq2i 3972	. . . . . . 7 |- (((sin` (pi / 2))^2) + ((cos` (pi / 2))^2)) = (((sin` (pi / 2))^2) + 0)
69		sincossqt 7461	. . . . . . . 8 |- ((pi / 2) e. CC -> (((sin` (pi / 2))^2) + ((cos` (pi / 2))^2)) = 1)
70	47, 69	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (((sin` (pi / 2))^2) + ((cos` (pi / 2))^2)) = 1
71	53	sqcl 6615	. . . . . . . 8 |- ((sin` (pi / 2))^2) e. CC
72	71	addid1 5330	. . . . . . 7 |- (((sin` (pi / 2))^2) + 0) = ((sin` (pi / 2))^2)
73	68, 70, 72	3eqtr3r 1504	. . . . . 6 |- ((sin` (pi / 2))^2) = 1
74		sq1 6637	. . . . . 6 |- (1^2) = 1
75	73, 74	eqtr4 1498	. . . . 5 |- ((sin` (pi / 2))^2) = (1^2)
76		ax1cn 5269	. . . . . 6 |- 1 e. CC
77	53, 76	sqeqor 6647	. . . . 5 |- (((sin` (pi / 2))^2) = (1^2) <-> ((sin` (pi / 2)) = 1 \/ (sin` (pi / 2)) = -u1))
78	75, 77	mpbi 189	. . . 4 |- ((sin` (pi / 2)) = 1 \/ (sin` (pi / 2)) = -u1)
79	78	ori 230	. . 3 |- (-. (sin` (pi / 2)) = 1 -> (sin` (pi / 2)) = -u1)
80	35, 79	mt3 112	. 2 |- (sin` (pi / 2)) = 1
81	80, 64	pm3.2i 285	1 |- ((sin` (pi / 2)) = 1 /\ (cos` (pi / 2)) = 0)

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239  -ucneg 5293   / cdiv 5294   <_ cle 5295   < clt 5486  2c2 5961  4c4 5963  (,]cioc 6358  ^cexp 6568  sincsin 7295  cosccos 7296  picpi 7297

This theorem is referenced by:  sinhalfpi 8680  coshalfpi 8681

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-r1 4643  df-rank 4644  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-5 5973  df-6 5974  df-7 5975  df-8 5976  df-9 5977  df-n0 6100  df-z 6136