MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinhalfpilem Unicode version

Theorem sinhalfpilem 19834
Description: Lemma for sinhalfpi 19836 and coshalfpi 19837. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sinhalfpilem  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  =  1  /\  ( cos `  ( pi  / 
2 ) )  =  0 )

Proof of Theorem sinhalfpilem
StepHypRef Expression
1 0lt1 9296 . . . . . 6  |-  0  <  1
2 0re 8838 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
3 1re 8837 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
42, 3ltnsymi 8937 . . . . . 6  |-  ( 0  <  1  ->  -.  1  <  0 )
51, 4ax-mp 8 . . . . 5  |-  -.  1  <  0
6 lt0neg1 9280 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1  <  0  <->  0  <  -u 1 ) )
73, 6ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( 1  <  0  <->  0  <  -u 1 )
85, 7mtbi 289 . . . 4  |-  -.  0  <  -u 1
9 pire 19832 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
10 2re 9815 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
11 2ne0 9829 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
129, 10, 11redivcli 9527 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
13 pipos 19833 . . . . . . . 8  |-  0  <  pi
14 2pos 9828 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
159, 10, 13, 14divgt0ii 9674 . . . . . . 7  |-  0  <  ( pi  /  2
)
16 4re 9819 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  RR
17 pigt2lt4 19830 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  <  pi  /\  pi  <  4 )
1817simpri 448 . . . . . . . . 9  |-  pi  <  4
199, 16, 18ltleii 8941 . . . . . . . 8  |-  pi  <_  4
2010, 14pm3.2i 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
21 ledivmul 9629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( pi 
/  2 )  <_ 
2  <->  pi  <_  ( 2  x.  2 ) ) )
229, 10, 20, 21mp3an 1277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  <_  2  <->  pi  <_  ( 2  x.  2 ) )
23 2t2e4 9871 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
2423breq2i 4031 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
<_  ( 2  x.  2 )  <->  pi  <_  4 )
2522, 24bitr2i 241 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
<_  4  <->  ( pi  / 
2 )  <_  2
)
2619, 25mpbi 199 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  <_ 
2
27 0xr 8878 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
28 elioc2 10713 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  2  e.  RR )  ->  (
( pi  /  2
)  e.  ( 0 (,] 2 )  <->  ( (
pi  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( pi  /  2
)  /\  ( pi  /  2 )  <_  2
) ) )
2927, 10, 28mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  ( 0 (,] 2 )  <->  ( (
pi  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( pi  /  2
)  /\  ( pi  /  2 )  <_  2
) )
3012, 15, 26, 29mpbir3an 1134 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  2 )  e.  ( 0 (,] 2
)
31 sin02gt0 12472 . . . . . 6  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  ( 0 (,] 2 )  ->  0  <  ( sin `  (
pi  /  2 ) ) )
3230, 31ax-mp 8 . . . . 5  |-  0  <  ( sin `  (
pi  /  2 ) )
33 breq2 4027 . . . . 5  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  =  -u 1  ->  (
0  <  ( sin `  ( pi  /  2
) )  <->  0  <  -u 1 ) )
3432, 33mpbii 202 . . . 4  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  =  -u 1  ->  0  <  -u 1 )
358, 34mto 167 . . 3  |-  -.  ( sin `  ( pi  / 
2 ) )  = 
-u 1
36 sq1 11198 . . . . . 6  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
37 resincl 12420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  ( sin `  ( pi  / 
2 ) )  e.  RR )
3812, 37ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( sin `  ( pi  /  2
) )  e.  RR
3938, 32gt0ne0ii 9309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sin `  ( pi  /  2
) )  =/=  0
40 df-ne 2448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  =/=  0  <->  -.  ( sin `  ( pi  / 
2 ) )  =  0 )
4139, 40mpbi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  ( sin `  ( pi  / 
2 ) )  =  0
42 df-ne 2448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  =/=  0  <->  -.  2  =  0 )
4311, 42mpbi 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  2  =  0
449recni 8849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  pi  e.  CC
45 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  CC
4644, 45, 11divcan2i 9503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  pi
4746fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( sin `  ( 2  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( sin `  pi )
4812recni 8849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
49 sin2t 12457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( 2  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  (
pi  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( pi  /  2
) ) ) ) )
5048, 49ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( sin `  ( 2  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  2 ) ) ) )
5147, 50eqtr3i 2305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sin `  pi )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  2 ) ) ) )
52 sinpi 19831 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sin `  pi )  =  0
5351, 52eqtr3i 2305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi  /  2
) )  x.  ( cos `  ( pi  / 
2 ) ) ) )  =  0
54 sincl 12406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( pi  / 
2 ) )  e.  CC )
5548, 54ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( sin `  ( pi  /  2
) )  e.  CC
56 coscl 12407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( pi  / 
2 ) )  e.  CC )
5748, 56ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( cos `  ( pi  /  2
) )  e.  CC
5855, 57mulcli 8842 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  2 ) ) )  e.  CC
5945, 58mul0ori 9416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  0  <->  ( 2  =  0  \/  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  2 ) ) )  =  0 ) )
6053, 59mpbi 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  =  0  \/  (
( sin `  (
pi  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( pi  /  2
) ) )  =  0 )
6143, 60mtp-or 1526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  x.  ( cos `  (
pi  /  2 ) ) )  =  0
6255, 57mul0ori 9416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sin `  (
pi  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( pi  /  2
) ) )  =  0  <->  ( ( sin `  ( pi  /  2
) )  =  0  \/  ( cos `  (
pi  /  2 ) )  =  0 ) )
6361, 62mpbi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  =  0  \/  ( cos `  ( pi  / 
2 ) )  =  0 )
6441, 63mtp-or 1526 . . . . . . . . . 10  |-  ( cos `  ( pi  /  2
) )  =  0
6564oveq1i 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( cos `  ( pi 
/  2 ) ) ^ 2 )  =  ( 0 ^ 2 )
66 sq0 11195 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
6765, 66eqtri 2303 . . . . . . . 8  |-  ( ( cos `  ( pi 
/  2 ) ) ^ 2 )  =  0
6867oveq2i 5869 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sin `  (
pi  /  2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  2
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sin `  (
pi  /  2 ) ) ^ 2 )  +  0 )
69 sincossq 12456 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( sin `  (
pi  /  2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  2
) ) ^ 2 ) )  =  1 )
7048, 69ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sin `  (
pi  /  2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( pi  /  2
) ) ^ 2 ) )  =  1
7168, 70eqtr3i 2305 . . . . . 6  |-  ( ( ( sin `  (
pi  /  2 ) ) ^ 2 )  +  0 )  =  1
7255sqcli 11184 . . . . . . 7  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC
7372addid1i 8999 . . . . . 6  |-  ( ( ( sin `  (
pi  /  2 ) ) ^ 2 )  +  0 )  =  ( ( sin `  (
pi  /  2 ) ) ^ 2 )
7436, 71, 733eqtr2ri 2310 . . . . 5  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
75 ax-1cn 8795 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
7655, 75sqeqori 11215 . . . . 5  |-  ( ( ( sin `  (
pi  /  2 ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( ( sin `  ( pi  / 
2 ) )  =  1  \/  ( sin `  ( pi  /  2
) )  =  -u
1 ) )
7774, 76mpbi 199 . . . 4  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  =  1  \/  ( sin `  ( pi  / 
2 ) )  = 
-u 1 )
7877ori 364 . . 3  |-  ( -.  ( sin `  (
pi  /  2 ) )  =  1  -> 
( sin `  (
pi  /  2 ) )  =  -u 1
)
7935, 78mt3 171 . 2  |-  ( sin `  ( pi  /  2
) )  =  1
8079, 64pm3.2i 441 1  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  2 ) )  =  1  /\  ( cos `  ( pi  / 
2 ) )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   -ucneg 9038    / cdiv 9423   2c2 9795   4c4 9797   (,]cioc 10657   ^cexp 11104   sincsin 12345   cosccos 12346   picpi 12348
This theorem is referenced by:  sinhalfpi  19836  coshalfpi  19837
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
  Copyright terms: Public domain W3C validator