MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinltx Unicode version

Theorem sinltx 12485
Description: The sine of a positive real number is less than its argument. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
sinltx  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sin `  A )  <  A
)

Proof of Theorem sinltx
StepHypRef Expression
1 rpre 10376 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
21adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <  A )  ->  A  e.  RR )
32resincld 12439 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <  A )  ->  ( sin `  A )  e.  RR )
4 1re 8853 . . . 4  |-  1  e.  RR
54a1i 10 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <  A )  ->  1  e.  RR )
6 sinbnd 12476 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( sin `  A )  /\  ( sin `  A )  <_ 
1 ) )
76simprd 449 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  A )  <_ 
1 )
81, 7syl 15 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sin `  A )  <_  1
)
98adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <  A )  ->  ( sin `  A )  <_ 
1 )
10 simpr 447 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <  A )  ->  1  <  A )
113, 5, 2, 9, 10lelttrd 8990 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <  A )  ->  ( sin `  A )  < 
A )
12 df-3an 936 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A  /\  A  <_  1 )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  A  <_  1 ) )
13 0xr 8894 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
14 elioc2 10729 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <_  1 ) ) )
1513, 4, 14mp2an 653 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <_  1 ) )
16 elrp 10372 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
1716anbi1i 676 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  A  <_  1 ) )
1812, 15, 173bitr4i 268 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( A  e.  RR+  /\  A  <_ 
1 ) )
19 sin01bnd 12481 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  A )  /\  ( sin `  A )  < 
A ) )
2019simprd 449 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( sin `  A )  < 
A )
2118, 20sylbir 204 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( sin `  A )  < 
A )
224a1i 10 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  1  e.  RR )
2311, 21, 22, 1ltlecasei 8944 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sin `  A )  <  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   3c3 9812   RR+crp 10370   (,]cioc 10673   ^cexp 11120   sincsin 12361
This theorem is referenced by:  basellem8  20341
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368
  Copyright terms: Public domain W3C validator