MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinltx Unicode version

Theorem sinltx 12717
Description: The sine of a positive real number is less than its argument. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
sinltx  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sin `  A )  <  A
)

Proof of Theorem sinltx
StepHypRef Expression
1 rpre 10550 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
21adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <  A )  ->  A  e.  RR )
32resincld 12671 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <  A )  ->  ( sin `  A )  e.  RR )
4 1re 9023 . . . 4  |-  1  e.  RR
54a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <  A )  ->  1  e.  RR )
6 sinbnd 12708 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( sin `  A )  /\  ( sin `  A )  <_ 
1 ) )
76simprd 450 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  A )  <_ 
1 )
81, 7syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sin `  A )  <_  1
)
98adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <  A )  ->  ( sin `  A )  <_ 
1 )
10 simpr 448 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <  A )  ->  1  <  A )
113, 5, 2, 9, 10lelttrd 9160 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <  A )  ->  ( sin `  A )  < 
A )
12 df-3an 938 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A  /\  A  <_  1 )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  A  <_  1 ) )
13 0xr 9064 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
14 elioc2 10905 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <_  1 ) ) )
1513, 4, 14mp2an 654 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <_  1 ) )
16 elrp 10546 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
1716anbi1i 677 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  A  <_  1 ) )
1812, 15, 173bitr4i 269 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( A  e.  RR+  /\  A  <_ 
1 ) )
19 sin01bnd 12713 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  A )  /\  ( sin `  A )  < 
A ) )
2019simprd 450 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( sin `  A )  < 
A )
2118, 20sylbir 205 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( sin `  A )  < 
A )
224a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  1  e.  RR )
2311, 21, 22, 1ltlecasei 9114 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sin `  A )  <  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1717   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924   RR*cxr 9052    < clt 9053    <_ cle 9054    - cmin 9223   -ucneg 9224    / cdiv 9609   3c3 9982   RR+crp 10544   (,]cioc 10849   ^cexp 11309   sincsin 12593
This theorem is referenced by:  basellem8  20737
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-ioc 10853  df-ico 10854  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-seq 11251  df-exp 11310  df-fac 11494  df-bc 11521  df-hash 11546  df-shft 11809  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-limsup 12192  df-clim 12209  df-rlim 12210  df-sum 12407  df-ef 12597  df-sin 12599  df-cos 12600
  Copyright terms: Public domain W3C validator