MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinltx Structured version   Unicode version

Theorem sinltx 12782
Description: The sine of a positive real number is less than its argument. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
sinltx  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sin `  A )  <  A
)

Proof of Theorem sinltx
StepHypRef Expression
1 rpre 10610 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
21adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <  A )  ->  A  e.  RR )
32resincld 12736 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <  A )  ->  ( sin `  A )  e.  RR )
4 1re 9082 . . . 4  |-  1  e.  RR
54a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <  A )  ->  1  e.  RR )
6 sinbnd 12773 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( sin `  A )  /\  ( sin `  A )  <_ 
1 ) )
76simprd 450 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  A )  <_ 
1 )
81, 7syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sin `  A )  <_  1
)
98adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <  A )  ->  ( sin `  A )  <_ 
1 )
10 simpr 448 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <  A )  ->  1  <  A )
113, 5, 2, 9, 10lelttrd 9220 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <  A )  ->  ( sin `  A )  < 
A )
12 df-3an 938 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A  /\  A  <_  1 )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  A  <_  1 ) )
13 0xr 9123 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
14 elioc2 10965 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <_  1 ) ) )
1513, 4, 14mp2an 654 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <_  1 ) )
16 elrp 10606 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
1716anbi1i 677 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  A  <_  1 ) )
1812, 15, 173bitr4i 269 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( A  e.  RR+  /\  A  <_ 
1 ) )
19 sin01bnd 12778 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  A )  /\  ( sin `  A )  < 
A ) )
2019simprd 450 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( sin `  A )  < 
A )
2118, 20sylbir 205 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( sin `  A )  < 
A )
224a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  1  e.  RR )
2311, 21, 22, 1ltlecasei 9173 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sin `  A )  <  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283   -ucneg 9284    / cdiv 9669   3c3 10042   RR+crp 10604   (,]cioc 10909   ^cexp 11374   sincsin 12658
This theorem is referenced by:  basellem8  20862
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-sin 12664  df-cos 12665
  Copyright terms: Public domain W3C validator