MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinsub Structured version   Unicode version

Theorem sinsub 12761
Description: Sine of difference. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
sinsub  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  ( A  -  B )
)  =  ( ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  -  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )

Proof of Theorem sinsub
StepHypRef Expression
1 negcl 9298 . . 3  |-  ( B  e.  CC  ->  -u B  e.  CC )
2 sinadd 12757 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u B  e.  CC )  ->  ( sin `  ( A  +  -u B ) )  =  ( ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  -u B ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  -u B ) ) ) )
31, 2sylan2 461 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  ( A  +  -u B ) )  =  ( ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  -u B ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  -u B ) ) ) )
4 negsub 9341 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
54fveq2d 5724 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  ( A  +  -u B ) )  =  ( sin `  ( A  -  B
) ) )
6 cosneg 12740 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  ( cos `  -u B )  =  ( cos `  B
) )
76adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  -u B
)  =  ( cos `  B ) )
87oveq2d 6089 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  -u B ) )  =  ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  B ) ) )
9 sinneg 12739 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  ( sin `  -u B )  = 
-u ( sin `  B
) )
109adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  -u B
)  =  -u ( sin `  B ) )
1110oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  -u B ) )  =  ( ( cos `  A )  x.  -u ( sin `  B ) ) )
12 coscl 12720 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
13 sincl 12719 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  ( sin `  B )  e.  CC )
14 mulneg2 9463 . . . . . 6  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  ( sin `  B )  e.  CC )  -> 
( ( cos `  A
)  x.  -u ( sin `  B ) )  =  -u ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )
1512, 13, 14syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  -u ( sin `  B ) )  =  -u ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )
1611, 15eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  -u B ) )  =  -u ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )
178, 16oveq12d 6091 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  -u B ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  -u B ) ) )  =  ( ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  + 
-u ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B ) ) ) )
18 sincl 12719 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
19 coscl 12720 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  ( cos `  B )  e.  CC )
20 mulcl 9066 . . . . 5  |-  ( ( ( sin `  A
)  e.  CC  /\  ( cos `  B )  e.  CC )  -> 
( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  e.  CC )
2118, 19, 20syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  e.  CC )
22 mulcl 9066 . . . . 5  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  ( sin `  B )  e.  CC )  -> 
( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  e.  CC )
2312, 13, 22syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  e.  CC )
2421, 23negsubd 9409 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  B ) )  +  -u ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )  =  ( ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  -  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
2517, 24eqtrd 2467 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  -u B ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  -u B ) ) )  =  ( ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  -  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
263, 5, 253eqtr3d 2475 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  ( A  -  B )
)  =  ( ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  -  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980    + caddc 8985    x. cmul 8987    - cmin 9283   -ucneg 9284   sincsin 12658   cosccos 12659
This theorem is referenced by:  addsin  12763  subsin  12764  pilem2  20360  sinmpi  20387  sinhalfpim  20393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-ico 10914  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-sin 12664  df-cos 12665
  Copyright terms: Public domain W3C validator