Theorem sinvalt 7429

Description: Value of the sine function.

Assertion

Ref	Expression
sinvalt	|- (A e. CC -> (sin` A) = (((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) / (2 x. i)))

Proof of Theorem sinvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3975	. . . . 5 |- (x = A -> (i x. x) = (i x. A))
2	1	fveq2d 3734	. . . 4 |- (x = A -> (exp` (i x. x)) = (exp` (i x. A)))
3		opreq2 3975	. . . . 5 |- (x = A -> (-ui x. x) = (-ui x. A))
4	3	fveq2d 3734	. . . 4 |- (x = A -> (exp` (-ui x. x)) = (exp` (-ui x. A)))
5	2, 4	opreq12d 3984	. . 3 |- (x = A -> ((exp` (i x. x)) - (exp` (-ui x. x))) = ((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))))
6	5	opreq1d 3981	. 2 |- (x = A -> (((exp` (i x. x)) - (exp` (-ui x. x))) / (2 x. i)) = (((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) / (2 x. i)))
7		df-sin 7300	. 2 |- sin = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (((exp` (i x. x)) - (exp` (-ui x. x))) / (2 x. i)))}
8		oprex 3989	. 2 |- (((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) / (2 x. i)) e. V
9	6, 7, 8	fvopab4 3786	1 |- (A e. CC -> (sin` A) = (((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) / (2 x. i)))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 958   e. wcel 960  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  ici 5248   x. cmul 5251   - cmin 5304  -ucneg 5305   / cdiv 5306  2c2 5963  expce 7293  sincsin 7295

This theorem is referenced by:  sinclt 7431  resinvalt 7433  sinnegt 7442  efivalt 7447  sinadd 7451  sinco 8662

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204  df-opr 3971  df-sin 7300

Copyright terms: Public domain