Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  slttrieq2 Unicode version

Theorem slttrieq2 25550
Description: Trichotomy law for surreal less than. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
slttrieq2  |-  ( ( A  e.  No  /\  B  e.  No )  ->  ( A  =  B  <-> 
( -.  A <
s B  /\  -.  B < s A ) ) )

Proof of Theorem slttrieq2
StepHypRef Expression
1 sltso 25545 . 2  |-  < s  Or  No
2 sotrieq2 4499 . 2  |-  ( ( < s  Or  No  /\  ( A  e.  No  /\  B  e.  No ) )  ->  ( A  =  B  <->  ( -.  A < s B  /\  -.  B < s A ) ) )
31, 2mpan 652 1  |-  ( ( A  e.  No  /\  B  e.  No )  ->  ( A  =  B  <-> 
( -.  A <
s B  /\  -.  B < s A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4180    Or wor 4470   Nocsur 25516   < scslt 25517
This theorem is referenced by:  nocvxmin  25567
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-suc 4555  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-fv 5429  df-1o 6691  df-2o 6692  df-no 25519  df-slt 25520
  Copyright terms: Public domain W3C validator