Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slwhash Structured version   Unicode version

Theorem slwhash 15258
 Description: A sylow subgroup has cardinality equal to the maximum power of dividing the group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fislw.1
slwhash.3
slwhash.4 pSyl
Assertion
Ref Expression
slwhash

Proof of Theorem slwhash
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fislw.1 . . 3
2 slwhash.4 . . . . 5 pSyl
3 slwsubg 15244 . . . . 5 pSyl SubGrp
42, 3syl 16 . . . 4 SubGrp
5 subgrcl 14949 . . . 4 SubGrp
64, 5syl 16 . . 3
7 slwhash.3 . . 3
8 slwprm 15243 . . . 4 pSyl
92, 8syl 16 . . 3
101grpbn0 14834 . . . . . 6
116, 10syl 16 . . . . 5
12 hashnncl 11645 . . . . . 6
137, 12syl 16 . . . . 5
1411, 13mpbird 224 . . . 4
159, 14pccld 13224 . . 3
16 pcdvds 13237 . . . 4
179, 14, 16syl2anc 643 . . 3
181, 6, 7, 9, 15, 17sylow1 15237 . 2 SubGrp
197adantr 452 . . . 4 SubGrp
204adantr 452 . . . 4 SubGrp SubGrp
21 simprl 733 . . . 4 SubGrp SubGrp
22 eqid 2436 . . . 4
23 eqid 2436 . . . . . . 7 s s
2423slwpgp 15247 . . . . . 6 pSyl pGrp s
252, 24syl 16 . . . . 5 pGrp s
2625adantr 452 . . . 4 SubGrp pGrp s
27 simprr 734 . . . 4 SubGrp
28 eqid 2436 . . . 4
291, 19, 20, 21, 22, 26, 27, 28sylow2b 15257 . . 3 SubGrp
30 simprr 734 . . . . . 6 SubGrp
312ad2antrr 707 . . . . . . . 8 SubGrp pSyl
3231, 8syl 16 . . . . . . 7 SubGrp
3315ad2antrr 707 . . . . . . . 8 SubGrp
3421adantr 452 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp SubGrp
35 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
36 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13
371, 22, 28, 36conjsubg 15037 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp SubGrp
3834, 35, 37syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11 SubGrp SubGrp
39 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12 s s
4039subgbas 14948 . . . . . . . . . . 11 SubGrp s
4138, 40syl 16 . . . . . . . . . 10 SubGrp s
4241fveq2d 5732 . . . . . . . . 9 SubGrp s
431, 22, 28, 36conjsubgen 15038 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
4434, 35, 43syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
457ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
461subgss 14945 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp
4734, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
48 ssfi 7329 . . . . . . . . . . . . 13
4945, 47, 48syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
501subgss 14945 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp
5138, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
52 ssfi 7329 . . . . . . . . . . . . 13
5345, 51, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
54 hashen 11631 . . . . . . . . . . . 12
5549, 53, 54syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
5644, 55mpbird 224 . . . . . . . . . 10 SubGrp
57 simplrr 738 . . . . . . . . . 10 SubGrp
5856, 57eqtr3d 2470 . . . . . . . . 9 SubGrp
5942, 58eqtr3d 2470 . . . . . . . 8 SubGrp s
60 oveq2 6089 . . . . . . . . . 10
6160eqeq2d 2447 . . . . . . . . 9 s s
6261rspcev 3052 . . . . . . . 8 s s
6333, 59, 62syl2anc 643 . . . . . . 7 SubGrp s
6439subggrp 14947 . . . . . . . . 9 SubGrp s
6538, 64syl 16 . . . . . . . 8 SubGrp s
6641, 53eqeltrrd 2511 . . . . . . . 8 SubGrp s
67 eqid 2436 . . . . . . . . 9 s s
6867pgpfi 15239 . . . . . . . 8 s s pGrp s s
6965, 66, 68syl2anc 643 . . . . . . 7 SubGrp pGrp s s
7032, 63, 69mpbir2and 889 . . . . . 6 SubGrp pGrp s
7139slwispgp 15245 . . . . . . 7 pSyl SubGrp pGrp s
7231, 38, 71syl2anc 643 . . . . . 6 SubGrp pGrp s
7330, 70, 72mpbi2and 888 . . . . 5 SubGrp
7473fveq2d 5732 . . . 4 SubGrp
7574, 58eqtrd 2468 . . 3 SubGrp
7629, 75rexlimddv 2834 . 2 SubGrp
7718, 76rexlimddv 2834 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wrex 2706   wss 3320  c0 3628   class class class wbr 4212   cmpt 4266   crn 4879  cfv 5454  (class class class)co 6081   cen 7106  cfn 7109  cn 10000  cn0 10221  cexp 11382  chash 11618   cdivides 12852  cprime 13079   cpc 13210  cbs 13469   ↾s cress 13470   cplusg 13529  cgrp 14685  csg 14688  SubGrpcsubg 14938   pGrp cpgp 15165   pSyl cslw 15166 This theorem is referenced by:  fislw  15259  sylow2  15260  sylow3lem4  15264 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-pc 13211  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-eqg 14943  df-ghm 15004  df-ga 15067  df-od 15167  df-pgp 15169  df-slw 15170
 Copyright terms: Public domain W3C validator