MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slwn0 Structured version   Unicode version

Theorem slwn0 15249
Description: Every finite group contains a Sylow  P-subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
slwn0.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
slwn0  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  P  e.  Prime )  ->  ( P pSyl  G )  =/=  (/) )

Proof of Theorem slwn0
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
210subg 14965 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  { ( 0g `  G ) }  e.  (SubGrp `  G ) )
323ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  P  e.  Prime )  ->  { ( 0g `  G ) }  e.  (SubGrp `  G ) )
4 simp2 958 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  P  e.  Prime )  ->  X  e.  Fin )
51pgp0 15230 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  ->  P pGrp  ( Gs  { ( 0g `  G ) } ) )
653adant2 976 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  P  e.  Prime )  ->  P pGrp  ( Gs  { ( 0g `  G ) } ) )
7 slwn0.1 . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
8 eqid 2436 . . . 4  |-  ( Gs  { ( 0g `  G
) } )  =  ( Gs  { ( 0g `  G ) } )
9 eqid 2436 . . . 4  |-  ( x  e.  { y  e.  (SubGrp `  G )  |  ( P pGrp  ( Gs  y )  /\  {
( 0g `  G
) }  C_  y
) }  |->  ( # `  x ) )  =  ( x  e.  {
y  e.  (SubGrp `  G )  |  ( P pGrp  ( Gs  y )  /\  { ( 0g
`  G ) } 
C_  y ) } 
|->  ( # `  x
) )
107, 8, 9pgpssslw 15248 . . 3  |-  ( ( { ( 0g `  G ) }  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin  /\  P pGrp  ( Gs  { ( 0g `  G ) } ) )  ->  E. z  e.  ( P pSyl  G ) { ( 0g `  G ) }  C_  z )
113, 4, 6, 10syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  P  e.  Prime )  ->  E. z  e.  ( P pSyl  G ) { ( 0g `  G ) }  C_  z )
12 rexn0 3730 . 2  |-  ( E. z  e.  ( P pSyl 
G ) { ( 0g `  G ) }  C_  z  ->  ( P pSyl  G )  =/=  (/) )
1311, 12syl 16 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  P  e.  Prime )  ->  ( P pSyl  G )  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   E.wrex 2706   {crab 2709    C_ wss 3320   (/)c0 3628   {csn 3814   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Fincfn 7109   #chash 11618   Primecprime 13079   Basecbs 13469   ↾s cress 13470   0gc0g 13723   Grpcgrp 14685  SubGrpcsubg 14938   pGrp cpgp 15165   pSyl cslw 15166
This theorem is referenced by:  sylow3  15267
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-pc 13211  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-eqg 14943  df-od 15167  df-pgp 15169  df-slw 15170
  Copyright terms: Public domain W3C validator