Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smbkle Unicode version

Theorem smbkle 26146
Description: The symbols and variables of  Prop belong to the Kleene star of  NN. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
smbkle  |-  ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  ( Kleene `
 NN )

Proof of Theorem smbkle
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-propvar 26133 . . . 4  |-  P c  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  7 )  |->  { <. 1 ,  x >. } )
21imaeq1i 5025 . . 3  |-  ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  =  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  7 )  |->  { <. 1 ,  x >. } ) " ( ZZ>=
`  7 ) )
3 dmmptg 5186 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( ZZ>= ` 
7 ) { <. 1 ,  x >. }  e.  _V  ->  dom  ( x  e.  ( ZZ>=
`  7 )  |->  {
<. 1 ,  x >. } )  =  (
ZZ>= `  7 ) )
4 snex 4232 . . . . . 6  |-  { <. 1 ,  x >. }  e.  _V
54a1i 10 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  7
)  ->  { <. 1 ,  x >. }  e.  _V )
63, 5mprg 2625 . . . 4  |-  dom  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
7 )  |->  { <. 1 ,  x >. } )  =  ( ZZ>= ` 
7 )
7 imaeq2 5024 . . . . . 6  |-  ( (
ZZ>= `  7 )  =  dom  ( x  e.  ( ZZ>= `  7 )  |->  { <. 1 ,  x >. } )  ->  (
( x  e.  (
ZZ>= `  7 )  |->  {
<. 1 ,  x >. } ) " ( ZZ>=
`  7 ) )  =  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  7
)  |->  { <. 1 ,  x >. } ) " dom  ( x  e.  (
ZZ>= `  7 )  |->  {
<. 1 ,  x >. } ) ) )
87eqcoms 2299 . . . . 5  |-  ( dom  ( x  e.  (
ZZ>= `  7 )  |->  {
<. 1 ,  x >. } )  =  (
ZZ>= `  7 )  -> 
( ( x  e.  ( ZZ>= `  7 )  |->  { <. 1 ,  x >. } ) " ( ZZ>=
`  7 ) )  =  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  7
)  |->  { <. 1 ,  x >. } ) " dom  ( x  e.  (
ZZ>= `  7 )  |->  {
<. 1 ,  x >. } ) ) )
9 imadmrn 5040 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= ` 
7 )  |->  { <. 1 ,  x >. } ) " dom  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
7 )  |->  { <. 1 ,  x >. } ) )  =  ran  ( x  e.  ( ZZ>=
`  7 )  |->  {
<. 1 ,  x >. } )
10 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  7
)  |->  { <. 1 ,  x >. } )  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  7 )  |->  {
<. 1 ,  x >. } )
1110rnmpt 4941 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
7 )  |->  { <. 1 ,  x >. } )  =  { y  |  E. x  e.  ( ZZ>= `  7 )
y  =  { <. 1 ,  x >. } }
12 7nn 9898 . . . . . . . . . . . . 13  |-  7  e.  NN
13 uznnssnn 10282 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 7  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  7 )  C_  NN )
1412, 13ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= ` 
7 )  C_  NN
1514sseli 3189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  7
)  ->  x  e.  NN )
16 1iskle 26092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  ->  { <. 1 ,  x >. }  e.  ( Kleene `  NN ) )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  7
)  ->  { <. 1 ,  x >. }  e.  (
Kleene `  NN ) )
1817rgen 2621 . . . . . . . . 9  |-  A. x  e.  ( ZZ>= `  7 ) { <. 1 ,  x >. }  e.  ( Kleene `  NN )
19 uniiunlem 3273 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( ZZ>= ` 
7 ) { <. 1 ,  x >. }  e.  _V  ->  ( A. x  e.  ( ZZ>=
`  7 ) {
<. 1 ,  x >. }  e.  ( Kleene `  NN )  <->  { y  |  E. x  e.  (
ZZ>= `  7 ) y  =  { <. 1 ,  x >. } }  C_  ( Kleene `  NN )
) )
2019, 5mprg 2625 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( ZZ>= ` 
7 ) { <. 1 ,  x >. }  e.  ( Kleene `  NN ) 
<->  { y  |  E. x  e.  ( ZZ>= ` 
7 ) y  =  { <. 1 ,  x >. } }  C_  ( Kleene `
 NN ) )
2118, 20mpbi 199 . . . . . . . 8  |-  { y  |  E. x  e.  ( ZZ>= `  7 )
y  =  { <. 1 ,  x >. } }  C_  ( Kleene `  NN )
2211, 21eqsstri 3221 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
7 )  |->  { <. 1 ,  x >. } )  C_  ( Kleene `  NN )
239, 22eqsstri 3221 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= ` 
7 )  |->  { <. 1 ,  x >. } ) " dom  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
7 )  |->  { <. 1 ,  x >. } ) )  C_  ( Kleene `
 NN )
2423a1i 10 . . . . 5  |-  ( dom  ( x  e.  (
ZZ>= `  7 )  |->  {
<. 1 ,  x >. } )  =  (
ZZ>= `  7 )  -> 
( ( x  e.  ( ZZ>= `  7 )  |->  { <. 1 ,  x >. } ) " dom  ( x  e.  ( ZZ>=
`  7 )  |->  {
<. 1 ,  x >. } ) )  C_  ( Kleene `  NN )
)
258, 24eqsstrd 3225 . . . 4  |-  ( dom  ( x  e.  (
ZZ>= `  7 )  |->  {
<. 1 ,  x >. } )  =  (
ZZ>= `  7 )  -> 
( ( x  e.  ( ZZ>= `  7 )  |->  { <. 1 ,  x >. } ) " ( ZZ>=
`  7 ) ) 
C_  ( Kleene `  NN ) )
266, 25ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= ` 
7 )  |->  { <. 1 ,  x >. } ) " ( ZZ>= ` 
7 ) )  C_  ( Kleene `  NN )
272, 26eqsstri 3221 . 2  |-  ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  C_  ( Kleene `  NN )
28 df-fals 26125 . . . 4  |-  _|_ c  =  { <. 1 ,  6
>. }
29 6nn 9897 . . . . 5  |-  6  e.  NN
30 1iskle 26092 . . . . 5  |-  ( 6  e.  NN  ->  { <. 1 ,  6 >. }  e.  ( Kleene `  NN ) )
3129, 30ax-mp 8 . . . 4  |-  { <. 1 ,  6 >. }  e.  ( Kleene `  NN )
3228, 31eqeltri 2366 . . 3  |-  _|_ c  e.  ( Kleene `  NN )
33 snex 4232 . . . . 5  |-  { <. 1 ,  6 >. }  e.  _V
3428, 33eqeltri 2366 . . . 4  |-  _|_ c  e.  _V
3534snss 3761 . . 3  |-  ( _|_ c  e.  ( Kleene `  NN )  <->  { _|_ c }  C_  ( Kleene `  NN ) )
3632, 35mpbi 199 . 2  |-  { _|_ c }  C_  ( Kleene `  NN )
3727, 36unssi 3363 1  |-  ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  ( Kleene `
 NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    u. cun 3163    C_ wss 3165   {csn 3653   <.cop 3656    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   ran crn 4706   "cima 4708   ` cfv 5271   1c1 8754   NNcn 9762   6c6 9815   7c7 9816   ZZ>=cuz 10246   Kleeneckln 26083   _|_ ccfals 26124   P ccPc 26132
This theorem is referenced by:  pfsubkl  26150  pvp  26151  pgapspf  26155  pgapspf2  26156
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-kle 26090  df-fals 26125  df-propvar 26133
  Copyright terms: Public domain W3C validator