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Theorem smcnlem 21270
Description: Lemma for smcn 21271. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
smcn.c  |-  C  =  ( IndMet `  U )
smcn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
smcn.s  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
smcn.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
smcn.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
smcn.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
smcn.u  |-  U  e.  NrmCVec
smcn.t  |-  T  =  ( 1  /  (
1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) ) )
Assertion
Ref Expression
smcnlem  |-  S  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J
)
Distinct variable groups:    x, r,
y, C    J, r, x, y    U, r, x, y    K, r, x, y    S, r, x, y    X, r, x, y
Allowed substitution hints:    T( x, y, r)    N( x, y, r)

Proof of Theorem smcnlem
Dummy variables  s  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smcn.u . . 3  |-  U  e.  NrmCVec
2 smcn.x . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 smcn.s . . . 4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
42, 3nvsf 21175 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  S : ( CC  X.  X ) --> X )
51, 4ax-mp 8 . 2  |-  S :
( CC  X.  X
) --> X
6 smcn.t . . . . . 6  |-  T  =  ( 1  /  (
1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) ) )
7 1rp 10358 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
8 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
9 smcn.n . . . . . . . . . . . . 13  |-  N  =  ( normCV `  U )
102, 9nvcl 21225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  y )  e.  RR )
111, 8, 10sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  y
)  e.  RR )
12 abscl 11763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
1312adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  ( abs `  x
)  e.  RR )
1411, 13readdcld 8862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  e.  RR )
152, 9nvge0 21240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  y
) )
161, 8, 15sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  y ) )
17 absge0 11772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  x
) )
1817adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( abs `  x ) )
1911, 13, 16, 18addge0d 9348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) ) )
2014, 19ge0p1rpd 10416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  e.  RR+ )
21 rpdivcl 10376 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  e.  RR+  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r )  e.  RR+ )
2220, 21sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
)  e.  RR+ )
23 rpaddcl 10374 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  (
( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r )  e.  RR+ )  ->  (
1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) )  e.  RR+ )
247, 22, 23sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) )  e.  RR+ )
2524rpreccld 10400 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( 1  / 
( 1  +  ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) )  e.  RR+ )
266, 25syl5eqel 2367 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  T  e.  RR+ )
27 smcn.c . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  ( IndMet `  U )
282, 27imsmet 21260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( Met `  X ) )
291, 28ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  C  e.  ( Met `  X
)
3029a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  C  e.  ( Met `  X ) )
311a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  U  e.  NrmCVec )
32 simplll 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  x  e.  CC )
33 simpllr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  y  e.  X
)
342, 3nvscl 21184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  (
x S y )  e.  X )
3531, 32, 33, 34syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x S y )  e.  X
)
36 simprll 738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  z  e.  CC )
37 simprlr 739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  w  e.  X
)
382, 3nvscl 21184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  CC  /\  w  e.  X )  ->  (
z S w )  e.  X )
3931, 36, 37, 38syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( z S w )  e.  X
)
40 metcl 17897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( Met `  X )  /\  (
x S y )  e.  X  /\  (
z S w )  e.  X )  -> 
( ( x S y ) C ( z S w ) )  e.  RR )
4130, 35, 39, 40syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  e.  RR )
422, 3nvscl 21184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  (
z S y )  e.  X )
4331, 36, 33, 42syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( z S y )  e.  X
)
44 metcl 17897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( Met `  X )  /\  (
x S y )  e.  X  /\  (
z S y )  e.  X )  -> 
( ( x S y ) C ( z S y ) )  e.  RR )
4530, 35, 43, 44syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) C ( z S y ) )  e.  RR )
46 metcl 17897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( Met `  X )  /\  (
z S y )  e.  X  /\  (
z S w )  e.  X )  -> 
( ( z S y ) C ( z S w ) )  e.  RR )
4730, 43, 39, 46syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( z S y ) C ( z S w ) )  e.  RR )
4845, 47readdcld 8862 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( x S y ) C ( z S y ) )  +  ( ( z S y ) C ( z S w ) ) )  e.  RR )
49 rpre 10360 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
5049ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  r  e.  RR )
51 mettri 17916 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( Met `  X )  /\  (
( x S y )  e.  X  /\  ( z S w )  e.  X  /\  ( z S y )  e.  X ) )  ->  ( (
x S y ) C ( z S w ) )  <_ 
( ( ( x S y ) C ( z S y ) )  +  ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) )
5230, 35, 39, 43, 51syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <_  (
( ( x S y ) C ( z S y ) )  +  ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) )
531, 33, 10sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  y )  e.  RR )
5432abscld 11918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  x
)  e.  RR )
5553, 54readdcld 8862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  e.  RR )
56 peano2re 8985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  e.  RR  ->  ( (
( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  e.  RR )
5755, 56syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  e.  RR )
5826adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  T  e.  RR+ )
5958rpred 10390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  T  e.  RR )
6057, 59remulcld 8863 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  T
)  e.  RR )
6132, 36subcld 9157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x  -  z )  e.  CC )
6261abscld 11918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
x  -  z ) )  e.  RR )
6362, 53remulcld 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  ( x  -  z
) )  x.  ( N `  y )
)  e.  RR )
6436abscld 11918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  z
)  e.  RR )
65 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
662, 65nvmcl 21205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
y ( -v `  U ) w )  e.  X )
6731, 33, 37, 66syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( y ( -v `  U ) w )  e.  X
)
682, 9nvcl 21225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
y ( -v `  U ) w )  e.  X )  -> 
( N `  (
y ( -v `  U ) w ) )  e.  RR )
691, 67, 68sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( y ( -v
`  U ) w ) )  e.  RR )
7064, 69remulcld 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  z )  x.  ( N `  ( y
( -v `  U
) w ) ) )  e.  RR )
7153, 59remulcld 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( N `
 y )  x.  T )  e.  RR )
72 peano2re 8985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  x )  e.  RR  ->  (
( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR )
7354, 72syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  1 )  e.  RR )
7473, 59remulcld 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( abs `  x )  +  1 )  x.  T )  e.  RR )
751, 33, 15sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  0  <_  ( N `  y )
)
7632, 36abssubd 11935 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
x  -  z ) )  =  ( abs `  ( z  -  x
) ) )
7736, 32subcld 9157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( z  -  x )  e.  CC )
7877abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  x ) )  e.  RR )
79 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
8079cnmetdval 18280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( x ( abs 
o.  -  ) z
)  =  ( abs `  ( x  -  z
) ) )
8132, 36, 80syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x ( abs  o.  -  )
z )  =  ( abs `  ( x  -  z ) ) )
8281, 76eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x ( abs  o.  -  )
z )  =  ( abs `  ( z  -  x ) ) )
83 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  T
)
8482, 83eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  x ) )  <  T )
8578, 59, 84ltled 8967 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  x ) )  <_  T )
8676, 85eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
x  -  z ) )  <_  T )
8762, 59, 53, 75, 86lemul1ad 9696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  ( x  -  z
) )  x.  ( N `  y )
)  <_  ( T  x.  ( N `  y
) ) )
8858rpcnd 10392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  T  e.  CC )
8953recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  y )  e.  CC )
9088, 89mulcomd 8856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( T  x.  ( N `  y ) )  =  ( ( N `  y )  x.  T ) )
9187, 90breqtrd 4047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  ( x  -  z
) )  x.  ( N `  y )
)  <_  ( ( N `  y )  x.  T ) )
9236absge0d 11926 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  z ) )
932, 9nvge0 21240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
y ( -v `  U ) w )  e.  X )  -> 
0  <_  ( N `  ( y ( -v
`  U ) w ) ) )
941, 67, 93sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  0  <_  ( N `  ( y
( -v `  U
) w ) ) )
9554, 78readdcld 8862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  ( abs `  ( z  -  x ) ) )  e.  RR )
9632, 36pncan3d 9160 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x  +  ( z  -  x
) )  =  z )
9796fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
x  +  ( z  -  x ) ) )  =  ( abs `  z ) )
9832, 77abstrid 11938 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
x  +  ( z  -  x ) ) )  <_  ( ( abs `  x )  +  ( abs `  (
z  -  x ) ) ) )
9997, 98eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  x )  +  ( abs `  (
z  -  x ) ) ) )
100 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
101100a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  1  e.  RR )
10222adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
)  e.  RR+ )
103 ltaddrp 10386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r )  e.  RR+ )  ->  1  <  ( 1  +  ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) )
104100, 102, 103sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  1  <  (
1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) ) )
10524adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) )  e.  RR+ )
106105recgt1d 10404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( 1  < 
( 1  +  ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) )  <->  ( 1  / 
( 1  +  ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) )  <  1
) )
107104, 106mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( 1  / 
( 1  +  ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) )  <  1
)
1086, 107syl5eqbr 4056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  T  <  1
)
10959, 101, 108ltled 8967 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  T  <_  1
)
11078, 59, 101, 85, 109letrd 8973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  x ) )  <_  1 )
11178, 101, 54, 110leadd2dd 9387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  ( abs `  ( z  -  x ) ) )  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) )
11264, 95, 73, 99, 111letrd 8973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) )
1132, 65, 9, 27imsdval 21255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
y C w )  =  ( N `  ( y ( -v
`  U ) w ) ) )
11431, 33, 37, 113syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( y C w )  =  ( N `  ( y ( -v `  U
) w ) ) )
115 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( y C w )  <  T
)
116114, 115eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( y ( -v
`  U ) w ) )  <  T
)
11769, 59, 116ltled 8967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( y ( -v
`  U ) w ) )  <_  T
)
11864, 73, 69, 59, 92, 94, 112, 117lemul12ad 9699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  z )  x.  ( N `  ( y
( -v `  U
) w ) ) )  <_  ( (
( abs `  x
)  +  1 )  x.  T ) )
11963, 70, 71, 74, 91, 118le2addd 9390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( x  -  z ) )  x.  ( N `  y ) )  +  ( ( abs `  z
)  x.  ( N `
 ( y ( -v `  U ) w ) ) ) )  <_  ( (
( N `  y
)  x.  T )  +  ( ( ( abs `  x )  +  1 )  x.  T ) ) )
120 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
1212, 120, 3, 9, 27imsdval2 21256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x S y )  e.  X  /\  (
z S y )  e.  X )  -> 
( ( x S y ) C ( z S y ) )  =  ( N `
 ( ( x S y ) ( +v `  U ) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) ) )
12231, 35, 43, 121syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) C ( z S y ) )  =  ( N `  ( ( x S y ) ( +v `  U
) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) ) )
123 neg1cn 9813 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 1  e.  CC
124 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( -u 1  x.  z )  e.  CC )
125123, 36, 124sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( -u 1  x.  z )  e.  CC )
1262, 120, 3nvdir 21189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  CC  /\  ( -u 1  x.  z
)  e.  CC  /\  y  e.  X )
)  ->  ( (
x  +  ( -u
1  x.  z ) ) S y )  =  ( ( x S y ) ( +v `  U ) ( ( -u 1  x.  z ) S y ) ) )
12731, 32, 125, 33, 126syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x  +  ( -u 1  x.  z ) ) S y )  =  ( ( x S y ) ( +v `  U ) ( (
-u 1  x.  z
) S y ) ) )
12836mulm1d 9231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( -u 1  x.  z )  =  -u z )
129128oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x  +  ( -u 1  x.  z
) )  =  ( x  +  -u z
) )
13032, 36negsubd 9163 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x  +  -u z )  =  ( x  -  z ) )
131129, 130eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x  +  ( -u 1  x.  z
) )  =  ( x  -  z ) )
132131oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x  +  ( -u 1  x.  z ) ) S y )  =  ( ( x  -  z
) S y ) )
133123a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  -u 1  e.  CC )
1342, 3nvsass 21186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( -u 1  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( -u 1  x.  z ) S y )  =  ( -u
1 S ( z S y ) ) )
13531, 133, 36, 33, 134syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( -u
1  x.  z ) S y )  =  ( -u 1 S ( z S y ) ) )
136135oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) ( +v `  U ) ( ( -u 1  x.  z ) S y ) )  =  ( ( x S y ) ( +v `  U ) ( -u
1 S ( z S y ) ) ) )
137127, 132, 1363eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x  -  z ) S y )  =  ( ( x S y ) ( +v `  U ) ( -u
1 S ( z S y ) ) ) )
138137fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( ( x  -  z ) S y ) )  =  ( N `  ( ( x S y ) ( +v `  U
) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) ) )
1392, 3, 9nvs 21228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  -  z )  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  ( (
x  -  z ) S y ) )  =  ( ( abs `  ( x  -  z
) )  x.  ( N `  y )
) )
14031, 61, 33, 139syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( ( x  -  z ) S y ) )  =  ( ( abs `  (
x  -  z ) )  x.  ( N `
 y ) ) )
141122, 138, 1403eqtr2d 2321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) C ( z S y ) )  =  ( ( abs `  (
x  -  z ) )  x.  ( N `
 y ) ) )
1422, 65, 9, 27imsdval 21255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
z S y )  e.  X  /\  (
z S w )  e.  X )  -> 
( ( z S y ) C ( z S w ) )  =  ( N `
 ( ( z S y ) ( -v `  U ) ( z S w ) ) ) )
14331, 43, 39, 142syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( z S y ) C ( z S w ) )  =  ( N `  ( ( z S y ) ( -v `  U
) ( z S w ) ) ) )
1442, 65, 3nvmdi 21208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
z  e.  CC  /\  y  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( z S ( y ( -v `  U ) w ) )  =  ( ( z S y ) ( -v
`  U ) ( z S w ) ) )
14531, 36, 33, 37, 144syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( z S ( y ( -v
`  U ) w ) )  =  ( ( z S y ) ( -v `  U ) ( z S w ) ) )
146145fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( z S ( y ( -v `  U ) w ) ) )  =  ( N `  ( ( z S y ) ( -v `  U
) ( z S w ) ) ) )
1472, 3, 9nvs 21228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  CC  /\  ( y ( -v `  U
) w )  e.  X )  ->  ( N `  ( z S ( y ( -v `  U ) w ) ) )  =  ( ( abs `  z )  x.  ( N `  ( y
( -v `  U
) w ) ) ) )
14831, 36, 67, 147syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( z S ( y ( -v `  U ) w ) ) )  =  ( ( abs `  z
)  x.  ( N `
 ( y ( -v `  U ) w ) ) ) )
149143, 146, 1483eqtr2d 2321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( z S y ) C ( z S w ) )  =  ( ( abs `  z
)  x.  ( N `
 ( y ( -v `  U ) w ) ) ) )
150141, 149oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( x S y ) C ( z S y ) )  +  ( ( z S y ) C ( z S w ) ) )  =  ( ( ( abs `  (
x  -  z ) )  x.  ( N `
 y ) )  +  ( ( abs `  z )  x.  ( N `  ( y
( -v `  U
) w ) ) ) ) )
15154recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  x
)  e.  CC )
152 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
153152a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  1  e.  CC )
15489, 151, 153addassd 8857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  =  ( ( N `  y )  +  ( ( abs `  x )  +  1 ) ) )
155154oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  T
)  =  ( ( ( N `  y
)  +  ( ( abs `  x )  +  1 ) )  x.  T ) )
15673recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  1 )  e.  CC )
15789, 156, 88adddird 8860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( N `  y )  +  ( ( abs `  x )  +  1 ) )  x.  T
)  =  ( ( ( N `  y
)  x.  T )  +  ( ( ( abs `  x )  +  1 )  x.  T ) ) )
158155, 157eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  T
)  =  ( ( ( N `  y
)  x.  T )  +  ( ( ( abs `  x )  +  1 )  x.  T ) ) )
159119, 150, 1583brtr4d 4053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( x S y ) C ( z S y ) )  +  ( ( z S y ) C ( z S w ) ) )  <_  (
( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  x.  T ) )
16057recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  e.  CC )
161105rpcnd 10392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) )  e.  CC )
162105rpne0d 10395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) )  =/=  0 )
163160, 161, 162divrecd 9539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  (
1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) ) )  =  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  ( 1  / 
( 1  +  ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) ) ) )
1646oveq2i 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  T )  =  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  x.  ( 1  /  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) ) )
165163, 164syl6reqr 2334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  T
)  =  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) ) )
166 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
167102rpred 10390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
)  e.  RR )
168167ltp1d 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
)  <  ( (
( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r )  +  1 ) )
169102rpcnd 10392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
)  e.  CC )
170169, 153addcomd 9014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r )  +  1 )  =  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) ) )
171168, 170breqtrd 4047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
)  <  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
) ) )
17257, 166, 105, 171ltdiv23d 10446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  (
1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) ) )  <  r )
173165, 172eqbrtrd 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  T
)  <  r )
17448, 60, 50, 159, 173lelttrd 8974 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( x S y ) C ( z S y ) )  +  ( ( z S y ) C ( z S w ) ) )  <  r
)
17541, 48, 50, 52, 174lelttrd 8974 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
)
176175expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  CC  /\  w  e.  X )
)  ->  ( (
( x ( abs 
o.  -  ) z
)  <  T  /\  ( y C w )  <  T )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) )
177176ralrimivva 2635 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  T  /\  ( y C w )  <  T )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) )
178 breq2 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  T  ->  (
( x ( abs 
o.  -  ) z
)  <  s  <->  ( x
( abs  o.  -  )
z )  <  T
) )
179 breq2 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  T  ->  (
( y C w )  <  s  <->  ( y C w )  < 
T ) )
180178, 179anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  T  ->  (
( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  <-> 
( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  T  /\  ( y C w )  <  T ) ) )
181180imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( s  =  T  ->  (
( ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
s  /\  ( y C w )  < 
s )  ->  (
( x S y ) C ( z S w ) )  <  r )  <->  ( (
( x ( abs 
o.  -  ) z
)  <  T  /\  ( y C w )  <  T )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) ) )
1821812ralbidv 2585 . . . . . 6  |-  ( s  =  T  ->  ( A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
)  <->  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  T  /\  ( y C w )  <  T )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) ) )
183182rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  RR+  /\  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( (
( x ( abs 
o.  -  ) z
)  <  T  /\  ( y C w )  <  T )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) )  ->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  <  s  /\  (
y C w )  <  s )  -> 
( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r ) )
18426, 177, 183syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  (
( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) )
185184ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  <  s  /\  (
y C w )  <  s )  -> 
( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r ) )
186185rgen2 2639 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  (
( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
)
187 cnxmet 18282 . . 3  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
1882, 27imsxmet 21261 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( * Met `  X
) )
1891, 188ax-mp 8 . . 3  |-  C  e.  ( * Met `  X
)
190 smcn.k . . . . 5  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
191190cnfldtopn 18291 . . . 4  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
192 smcn.j . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
193191, 192, 192txmetcn 18094 . . 3  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  C  e.  ( * Met `  X )  /\  C  e.  ( * Met `  X ) )  ->  ( S  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J
)  <->  ( S :
( CC  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) ) ) )
194187, 189, 189, 193mp3an 1277 . 2  |-  ( S  e.  ( ( K 
tX  J )  Cn  J )  <->  ( S : ( CC  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  <  s  /\  (
y C w )  <  s )  -> 
( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r ) ) )
1955, 186, 194mpbir2an 886 1  |-  S  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   class class class wbr 4023    X. cxp 4687    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   RR+crp 10354   abscabs 11719   TopOpenctopn 13326   * Metcxmt 16369   Metcme 16370   MetOpencmopn 16372  ℂfldccnfld 16377    Cn ccn 16954    tX ctx 17255   NrmCVeccnv 21140   +vcpv 21141   BaseSetcba 21142   .s
OLDcns 21143   -vcnsb 21145   normCVcnmcv 21146   IndMetcims 21147
This theorem is referenced by:  smcn  21271
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-tms 17887  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ims 21157
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