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Theorem smcnlem 22043
Description: Lemma for smcn 22044. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
smcn.c  |-  C  =  ( IndMet `  U )
smcn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
smcn.s  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
smcn.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
smcn.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
smcn.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
smcn.u  |-  U  e.  NrmCVec
smcn.t  |-  T  =  ( 1  /  (
1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) ) )
Assertion
Ref Expression
smcnlem  |-  S  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J
)
Distinct variable groups:    x, r,
y, C    J, r, x, y    U, r, x, y    K, r, x, y    S, r, x, y    X, r, x, y
Allowed substitution hints:    T( x, y, r)    N( x, y, r)

Proof of Theorem smcnlem
Dummy variables  s  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smcn.u . . 3  |-  U  e.  NrmCVec
2 smcn.x . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 smcn.s . . . 4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
42, 3nvsf 21948 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  S : ( CC  X.  X ) --> X )
51, 4ax-mp 8 . 2  |-  S :
( CC  X.  X
) --> X
6 smcn.t . . . . . 6  |-  T  =  ( 1  /  (
1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) ) )
7 1rp 10550 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
8 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
9 smcn.n . . . . . . . . . . . . 13  |-  N  =  ( normCV `  U )
102, 9nvcl 21998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  y )  e.  RR )
111, 8, 10sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  y
)  e.  RR )
12 abscl 12012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
1312adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  ( abs `  x
)  e.  RR )
1411, 13readdcld 9050 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  e.  RR )
152, 9nvge0 22013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  y
) )
161, 8, 15sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  y ) )
17 absge0 12021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  x
) )
1817adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( abs `  x ) )
1911, 13, 16, 18addge0d 9536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) ) )
2014, 19ge0p1rpd 10608 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  e.  RR+ )
21 rpdivcl 10568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  e.  RR+  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r )  e.  RR+ )
2220, 21sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
)  e.  RR+ )
23 rpaddcl 10566 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  (
( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r )  e.  RR+ )  ->  (
1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) )  e.  RR+ )
247, 22, 23sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) )  e.  RR+ )
2524rpreccld 10592 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( 1  / 
( 1  +  ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) )  e.  RR+ )
266, 25syl5eqel 2473 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  T  e.  RR+ )
27 smcn.c . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  ( IndMet `  U )
282, 27imsmet 22033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( Met `  X ) )
291, 28ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  C  e.  ( Met `  X
)
3029a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  C  e.  ( Met `  X ) )
311a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  U  e.  NrmCVec )
32 simplll 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  x  e.  CC )
33 simpllr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  y  e.  X
)
342, 3nvscl 21957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  (
x S y )  e.  X )
3531, 32, 33, 34syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x S y )  e.  X
)
36 simprll 739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  z  e.  CC )
37 simprlr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  w  e.  X
)
382, 3nvscl 21957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  CC  /\  w  e.  X )  ->  (
z S w )  e.  X )
3931, 36, 37, 38syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( z S w )  e.  X
)
40 metcl 18273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( Met `  X )  /\  (
x S y )  e.  X  /\  (
z S w )  e.  X )  -> 
( ( x S y ) C ( z S w ) )  e.  RR )
4130, 35, 39, 40syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  e.  RR )
422, 3nvscl 21957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  (
z S y )  e.  X )
4331, 36, 33, 42syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( z S y )  e.  X
)
44 metcl 18273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( Met `  X )  /\  (
x S y )  e.  X  /\  (
z S y )  e.  X )  -> 
( ( x S y ) C ( z S y ) )  e.  RR )
4530, 35, 43, 44syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) C ( z S y ) )  e.  RR )
46 metcl 18273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( Met `  X )  /\  (
z S y )  e.  X  /\  (
z S w )  e.  X )  -> 
( ( z S y ) C ( z S w ) )  e.  RR )
4730, 43, 39, 46syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( z S y ) C ( z S w ) )  e.  RR )
4845, 47readdcld 9050 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( x S y ) C ( z S y ) )  +  ( ( z S y ) C ( z S w ) ) )  e.  RR )
49 rpre 10552 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
5049ad2antlr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  r  e.  RR )
51 mettri 18292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( Met `  X )  /\  (
( x S y )  e.  X  /\  ( z S w )  e.  X  /\  ( z S y )  e.  X ) )  ->  ( (
x S y ) C ( z S w ) )  <_ 
( ( ( x S y ) C ( z S y ) )  +  ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) )
5230, 35, 39, 43, 51syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <_  (
( ( x S y ) C ( z S y ) )  +  ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) )
531, 33, 10sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  y )  e.  RR )
5432abscld 12167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  x
)  e.  RR )
5553, 54readdcld 9050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  e.  RR )
56 peano2re 9173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  e.  RR  ->  ( (
( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  e.  RR )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  e.  RR )
5826adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  T  e.  RR+ )
5958rpred 10582 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  T  e.  RR )
6057, 59remulcld 9051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  T
)  e.  RR )
6132, 36subcld 9345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x  -  z )  e.  CC )
6261abscld 12167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
x  -  z ) )  e.  RR )
6362, 53remulcld 9051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  ( x  -  z
) )  x.  ( N `  y )
)  e.  RR )
6436abscld 12167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  z
)  e.  RR )
65 eqid 2389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
662, 65nvmcl 21978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
y ( -v `  U ) w )  e.  X )
6731, 33, 37, 66syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( y ( -v `  U ) w )  e.  X
)
682, 9nvcl 21998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
y ( -v `  U ) w )  e.  X )  -> 
( N `  (
y ( -v `  U ) w ) )  e.  RR )
691, 67, 68sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( y ( -v
`  U ) w ) )  e.  RR )
7064, 69remulcld 9051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  z )  x.  ( N `  ( y
( -v `  U
) w ) ) )  e.  RR )
7153, 59remulcld 9051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( N `
 y )  x.  T )  e.  RR )
72 peano2re 9173 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  x )  e.  RR  ->  (
( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR )
7354, 72syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  1 )  e.  RR )
7473, 59remulcld 9051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( abs `  x )  +  1 )  x.  T )  e.  RR )
751, 33, 15sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  0  <_  ( N `  y )
)
7632, 36abssubd 12184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
x  -  z ) )  =  ( abs `  ( z  -  x
) ) )
7736, 32subcld 9345 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( z  -  x )  e.  CC )
7877abscld 12167 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  x ) )  e.  RR )
79 eqid 2389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
8079cnmetdval 18678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( x ( abs 
o.  -  ) z
)  =  ( abs `  ( x  -  z
) ) )
8132, 36, 80syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x ( abs  o.  -  )
z )  =  ( abs `  ( x  -  z ) ) )
8281, 76eqtrd 2421 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x ( abs  o.  -  )
z )  =  ( abs `  ( z  -  x ) ) )
83 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  T
)
8482, 83eqbrtrrd 4177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  x ) )  <  T )
8578, 59, 84ltled 9155 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  x ) )  <_  T )
8676, 85eqbrtrd 4175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
x  -  z ) )  <_  T )
8762, 59, 53, 75, 86lemul1ad 9884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  ( x  -  z
) )  x.  ( N `  y )
)  <_  ( T  x.  ( N `  y
) ) )
8858rpcnd 10584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  T  e.  CC )
8953recnd 9049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  y )  e.  CC )
9088, 89mulcomd 9044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( T  x.  ( N `  y ) )  =  ( ( N `  y )  x.  T ) )
9187, 90breqtrd 4179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  ( x  -  z
) )  x.  ( N `  y )
)  <_  ( ( N `  y )  x.  T ) )
9236absge0d 12175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  z ) )
932, 9nvge0 22013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
y ( -v `  U ) w )  e.  X )  -> 
0  <_  ( N `  ( y ( -v
`  U ) w ) ) )
941, 67, 93sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  0  <_  ( N `  ( y
( -v `  U
) w ) ) )
9554, 78readdcld 9050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  ( abs `  ( z  -  x ) ) )  e.  RR )
9632, 36pncan3d 9348 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x  +  ( z  -  x
) )  =  z )
9796fveq2d 5674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
x  +  ( z  -  x ) ) )  =  ( abs `  z ) )
9832, 77abstrid 12187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
x  +  ( z  -  x ) ) )  <_  ( ( abs `  x )  +  ( abs `  (
z  -  x ) ) ) )
9997, 98eqbrtrrd 4177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  x )  +  ( abs `  (
z  -  x ) ) ) )
100 1re 9025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  1  e.  RR )
10222adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
)  e.  RR+ )
103 ltaddrp 10578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r )  e.  RR+ )  ->  1  <  ( 1  +  ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) )
104100, 102, 103sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  1  <  (
1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) ) )
10524adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) )  e.  RR+ )
106105recgt1d 10596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( 1  < 
( 1  +  ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) )  <->  ( 1  / 
( 1  +  ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) )  <  1
) )
107104, 106mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( 1  / 
( 1  +  ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) )  <  1
)
1086, 107syl5eqbr 4188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  T  <  1
)
10959, 101, 108ltled 9155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  T  <_  1
)
11078, 59, 101, 85, 109letrd 9161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  x ) )  <_  1 )
11178, 101, 54, 110leadd2dd 9575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  ( abs `  ( z  -  x ) ) )  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) )
11264, 95, 73, 99, 111letrd 9161 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) )
1132, 65, 9, 27imsdval 22028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
y C w )  =  ( N `  ( y ( -v
`  U ) w ) ) )
11431, 33, 37, 113syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( y C w )  =  ( N `  ( y ( -v `  U
) w ) ) )
115 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( y C w )  <  T
)
116114, 115eqbrtrrd 4177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( y ( -v
`  U ) w ) )  <  T
)
11769, 59, 116ltled 9155 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( y ( -v
`  U ) w ) )  <_  T
)
11864, 73, 69, 59, 92, 94, 112, 117lemul12ad 9887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  z )  x.  ( N `  ( y
( -v `  U
) w ) ) )  <_  ( (
( abs `  x
)  +  1 )  x.  T ) )
11963, 70, 71, 74, 91, 118le2addd 9578 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( x  -  z ) )  x.  ( N `  y ) )  +  ( ( abs `  z
)  x.  ( N `
 ( y ( -v `  U ) w ) ) ) )  <_  ( (
( N `  y
)  x.  T )  +  ( ( ( abs `  x )  +  1 )  x.  T ) ) )
120 eqid 2389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
1212, 120, 3, 9, 27imsdval2 22029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x S y )  e.  X  /\  (
z S y )  e.  X )  -> 
( ( x S y ) C ( z S y ) )  =  ( N `
 ( ( x S y ) ( +v `  U ) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) ) )
12231, 35, 43, 121syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) C ( z S y ) )  =  ( N `  ( ( x S y ) ( +v `  U
) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) ) )
123 neg1cn 10001 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 1  e.  CC
124 mulcl 9009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( -u 1  x.  z )  e.  CC )
125123, 36, 124sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( -u 1  x.  z )  e.  CC )
1262, 120, 3nvdir 21962 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  CC  /\  ( -u 1  x.  z
)  e.  CC  /\  y  e.  X )
)  ->  ( (
x  +  ( -u
1  x.  z ) ) S y )  =  ( ( x S y ) ( +v `  U ) ( ( -u 1  x.  z ) S y ) ) )
12731, 32, 125, 33, 126syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x  +  ( -u 1  x.  z ) ) S y )  =  ( ( x S y ) ( +v `  U ) ( (
-u 1  x.  z
) S y ) ) )
12836mulm1d 9419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( -u 1  x.  z )  =  -u z )
129128oveq2d 6038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x  +  ( -u 1  x.  z
) )  =  ( x  +  -u z
) )
13032, 36negsubd 9351 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x  +  -u z )  =  ( x  -  z ) )
131129, 130eqtrd 2421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x  +  ( -u 1  x.  z
) )  =  ( x  -  z ) )
132131oveq1d 6037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x  +  ( -u 1  x.  z ) ) S y )  =  ( ( x  -  z
) S y ) )
133123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  -u 1  e.  CC )
1342, 3nvsass 21959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( -u 1  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( -u 1  x.  z ) S y )  =  ( -u
1 S ( z S y ) ) )
13531, 133, 36, 33, 134syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( -u
1  x.  z ) S y )  =  ( -u 1 S ( z S y ) ) )
136135oveq2d 6038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) ( +v `  U ) ( ( -u 1  x.  z ) S y ) )  =  ( ( x S y ) ( +v `  U ) ( -u
1 S ( z S y ) ) ) )
137127, 132, 1363eqtr3d 2429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x  -  z ) S y )  =  ( ( x S y ) ( +v `  U ) ( -u
1 S ( z S y ) ) ) )
138137fveq2d 5674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( ( x  -  z ) S y ) )  =  ( N `  ( ( x S y ) ( +v `  U
) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) ) )
1392, 3, 9nvs 22001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  -  z )  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  ( (
x  -  z ) S y ) )  =  ( ( abs `  ( x  -  z
) )  x.  ( N `  y )
) )
14031, 61, 33, 139syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( ( x  -  z ) S y ) )  =  ( ( abs `  (
x  -  z ) )  x.  ( N `
 y ) ) )
141122, 138, 1403eqtr2d 2427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) C ( z S y ) )  =  ( ( abs `  (
x  -  z ) )  x.  ( N `
 y ) ) )
1422, 65, 9, 27imsdval 22028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
z S y )  e.  X  /\  (
z S w )  e.  X )  -> 
( ( z S y ) C ( z S w ) )  =  ( N `
 ( ( z S y ) ( -v `  U ) ( z S w ) ) ) )
14331, 43, 39, 142syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( z S y ) C ( z S w ) )  =  ( N `  ( ( z S y ) ( -v `  U
) ( z S w ) ) ) )
1442, 65, 3nvmdi 21981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
z  e.  CC  /\  y  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( z S ( y ( -v `  U ) w ) )  =  ( ( z S y ) ( -v
`  U ) ( z S w ) ) )
14531, 36, 33, 37, 144syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( z S ( y ( -v
`  U ) w ) )  =  ( ( z S y ) ( -v `  U ) ( z S w ) ) )
146145fveq2d 5674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( z S ( y ( -v `  U ) w ) ) )  =  ( N `  ( ( z S y ) ( -v `  U
) ( z S w ) ) ) )
1472, 3, 9nvs 22001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  CC  /\  ( y ( -v `  U
) w )  e.  X )  ->  ( N `  ( z S ( y ( -v `  U ) w ) ) )  =  ( ( abs `  z )  x.  ( N `  ( y
( -v `  U
) w ) ) ) )
14831, 36, 67, 147syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( z S ( y ( -v `  U ) w ) ) )  =  ( ( abs `  z
)  x.  ( N `
 ( y ( -v `  U ) w ) ) ) )
149143, 146, 1483eqtr2d 2427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( z S y ) C ( z S w ) )  =  ( ( abs `  z
)  x.  ( N `
 ( y ( -v `  U ) w ) ) ) )
150141, 149oveq12d 6040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( x S y ) C ( z S y ) )  +  ( ( z S y ) C ( z S w ) ) )  =  ( ( ( abs `  (
x  -  z ) )  x.  ( N `
 y ) )  +  ( ( abs `  z )  x.  ( N `  ( y
( -v `  U
) w ) ) ) ) )
15154recnd 9049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  x
)  e.  CC )
152 ax-1cn 8983 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
153152a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  1  e.  CC )
15489, 151, 153addassd 9045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  =  ( ( N `  y )  +  ( ( abs `  x )  +  1 ) ) )
155154oveq1d 6037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  T
)  =  ( ( ( N `  y
)  +  ( ( abs `  x )  +  1 ) )  x.  T ) )
15673recnd 9049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  1 )  e.  CC )
15789, 156, 88adddird 9048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( N `  y )  +  ( ( abs `  x )  +  1 ) )  x.  T
)  =  ( ( ( N `  y
)  x.  T )  +  ( ( ( abs `  x )  +  1 )  x.  T ) ) )
158155, 157eqtrd 2421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  T
)  =  ( ( ( N `  y
)  x.  T )  +  ( ( ( abs `  x )  +  1 )  x.  T ) ) )
159119, 150, 1583brtr4d 4185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( x S y ) C ( z S y ) )  +  ( ( z S y ) C ( z S w ) ) )  <_  (
( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  x.  T ) )
16057recnd 9049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  e.  CC )
161105rpcnd 10584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) )  e.  CC )
162105rpne0d 10587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) )  =/=  0 )
163160, 161, 162divrecd 9727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  (
1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) ) )  =  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  ( 1  / 
( 1  +  ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) ) ) )
1646oveq2i 6033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  T )  =  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  x.  ( 1  /  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) ) )
165163, 164syl6reqr 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  T
)  =  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) ) )
166 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
167102rpred 10582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
)  e.  RR )
168167ltp1d 9875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
)  <  ( (
( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r )  +  1 ) )
169102rpcnd 10584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
)  e.  CC )
170169, 153addcomd 9202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r )  +  1 )  =  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) ) )
171168, 170breqtrd 4179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
)  <  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
) ) )
17257, 166, 105, 171ltdiv23d 10638 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  (
1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) ) )  <  r )
173165, 172eqbrtrd 4175 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  T
)  <  r )
17448, 60, 50, 159, 173lelttrd 9162 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( x S y ) C ( z S y ) )  +  ( ( z S y ) C ( z S w ) ) )  <  r
)
17541, 48, 50, 52, 174lelttrd 9162 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
)
176175expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  CC  /\  w  e.  X )
)  ->  ( (
( x ( abs 
o.  -  ) z
)  <  T  /\  ( y C w )  <  T )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) )
177176ralrimivva 2743 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  T  /\  ( y C w )  <  T )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) )
178 breq2 4159 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  T  ->  (
( x ( abs 
o.  -  ) z
)  <  s  <->  ( x
( abs  o.  -  )
z )  <  T
) )
179 breq2 4159 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  T  ->  (
( y C w )  <  s  <->  ( y C w )  < 
T ) )
180178, 179anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  T  ->  (
( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  <-> 
( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  T  /\  ( y C w )  <  T ) ) )
181180imbi1d 309 . . . . . . 7  |-  ( s  =  T  ->  (
( ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
s  /\  ( y C w )  < 
s )  ->  (
( x S y ) C ( z S w ) )  <  r )  <->  ( (
( x ( abs 
o.  -  ) z
)  <  T  /\  ( y C w )  <  T )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) ) )
1821812ralbidv 2693 . . . . . 6  |-  ( s  =  T  ->  ( A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
)  <->  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  T  /\  ( y C w )  <  T )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) ) )
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( x ( abs 
o.  -  ) z
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) )  ->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  <  s  /\  (
y C w )  <  s )  -> 
( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r ) )
18426, 177, 183syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  (
( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) )
185184ralrimiva 2734 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  <  s  /\  (
y C w )  <  s )  -> 
( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r ) )
186185rgen2 2747 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  (
( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
)
187 cnxmet 18680 . . 3  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
1882, 27imsxmet 22034 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( * Met `  X
) )
1891, 188ax-mp 8 . . 3  |-  C  e.  ( * Met `  X
)
190 smcn.k . . . . 5  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
191190cnfldtopn 18689 . . . 4  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
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193191, 192, 192txmetcn 18470 . . 3  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  C  e.  ( * Met `  X )  /\  C  e.  ( * Met `  X ) )  ->  ( S  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J
)  <->  ( S :
( CC  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) ) ) )
194187, 189, 189, 193mp3an 1279 . 2  |-  ( S  e.  ( ( K 
tX  J )  Cn  J )  <->  ( S : ( CC  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  <  s  /\  (
y C w )  <  s )  -> 
( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r ) ) )
1955, 186, 194mpbir2an 887 1  |-  S  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   E.wrex 2652   class class class wbr 4155    X. cxp 4818    o. ccom 4824   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923   RRcr 8924   0cc0 8925   1c1 8926    + caddc 8928    x. cmul 8930    < clt 9055    <_ cle 9056    - cmin 9225   -ucneg 9226    / cdiv 9611   RR+crp 10546   abscabs 11968   TopOpenctopn 13578   * Metcxmt 16614   Metcme 16615   MetOpencmopn 16619  ℂfldccnfld 16628    Cn ccn 17212    tX ctx 17515   NrmCVeccnv 21913   +vcpv 21914   BaseSetcba 21915   .s
OLDcns 21916   -vcnsb 21918   normCVcnmcv 21919   IndMetcims 21920
This theorem is referenced by:  smcn  22044
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-addf 9004  ax-mulf 9005
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-seq 11253  df-exp 11312  df-hash 11548  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-hom 13482  df-cco 13483  df-rest 13579  df-topn 13580  df-topgen 13596  df-pt 13597  df-prds 13600  df-xrs 13655  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-qtop 13662  df-imas 13663  df-xps 13665  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-mulg 14744  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-cnfld 16629  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-cn 17215  df-cnp 17216  df-tx 17517  df-hmeo 17710  df-xms 18261  df-tms 18263  df-grpo 21629  df-gid 21630  df-ginv 21631  df-gdiv 21632  df-ablo 21720  df-vc 21875  df-nv 21921  df-va 21924  df-ba 21925  df-sm 21926  df-0v 21927  df-vs 21928  df-nmcv 21929  df-ims 21930
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