MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smo0 Unicode version

Theorem smo0 6391
Description: The null set is a strictly monotone ordinal function. (Contributed by Andrew Salmon, 20-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
smo0  |-  Smo  (/)

Proof of Theorem smo0
StepHypRef Expression
1 ord0 4460 . . 3  |-  Ord  (/)
21iordsmo 6390 . 2  |-  Smo  (  _I  |`  (/) )
3 res0 4975 . . 3  |-  (  _I  |`  (/) )  =  (/)
4 smoeq 6383 . . 3  |-  ( (  _I  |`  (/) )  =  (/)  ->  ( Smo  (  _I  |`  (/) )  <->  Smo  (/) ) )
53, 4ax-mp 8 . 2  |-  ( Smo  (  _I  |`  (/) )  <->  Smo  (/) )
62, 5mpbi 199 1  |-  Smo  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    = wceq 1632   (/)c0 3468    _I cid 4320    |` cres 4707   Smo wsmo 6378
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-smo 6379
  Copyright terms: Public domain W3C validator