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Theorem smo11 6381
Description: A strictly monotone ordinal function is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
smo11  |-  ( ( F : A --> B  /\  Smo  F )  ->  F : A -1-1-> B )

Proof of Theorem smo11
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  Smo  F )  ->  F : A --> B )
2 ffn 5389 . . 3  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
3 smodm2 6372 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  Ord  A )
4 ordelord 4414 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  A  /\  z  e.  A )  ->  Ord  z )
54ex 423 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  ->  ( z  e.  A  ->  Ord  z
) )
63, 5syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  (
z  e.  A  ->  Ord  z ) )
7 ordelord 4414 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  A  /\  w  e.  A )  ->  Ord  w )
87ex 423 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  ->  ( w  e.  A  ->  Ord  w
) )
93, 8syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  (
w  e.  A  ->  Ord  w ) )
106, 9anim12d 546 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  (
( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  ->  ( Ord  z  /\  Ord  w ) ) )
11 ordtri3or 4424 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  z  /\  Ord  w )  ->  (
z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z ) )
12 simp1rr 1021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  z  e.  w  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  ->  w  e.  A )
13 smoel2 6380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x
) )  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x
) )
1413ralrimivva 2635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )
1514adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )
16153ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  z  e.  w  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )
17 simp2 956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  z  e.  w  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
z  e.  w )
18 simp3 957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  z  e.  w  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
( F `  z
)  =  ( F `
 w ) )
19 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
2019eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  y
)  e.  ( F `
 x )  <->  ( F `  y )  e.  ( F `  w ) ) )
2120raleqbi1dv 2744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x )  <->  A. y  e.  w  ( F `  y )  e.  ( F `  w ) ) )
2221rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x )  ->  A. y  e.  w  ( F `  y )  e.  ( F `  w ) ) )
23 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
2423eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  (
( F `  y
)  e.  ( F `
 w )  <->  ( F `  z )  e.  ( F `  w ) ) )
2524rspccv 2881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  w  ( F `  y )  e.  ( F `  w
)  ->  ( z  e.  w  ->  ( F `
 z )  e.  ( F `  w
) ) )
2622, 25syl6 29 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x )  ->  (
z  e.  w  -> 
( F `  z
)  e.  ( F `
 w ) ) ) )
27263imp 1145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x
)  /\  z  e.  w )  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  w
) )
28 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( F `
 w )  <->  ( F `  w )  e.  ( F `  w ) ) )
2928biimpac 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  ( F `
 w )  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
( F `  w
)  e.  ( F `
 w ) )
3027, 29sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x )  /\  z  e.  w )  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
( F `  w
)  e.  ( F `
 w ) )
3112, 16, 17, 18, 30syl31anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  z  e.  w  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
( F `  w
)  e.  ( F `
 w ) )
32 smofvon2 6373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Smo 
F  ->  ( F `  w )  e.  On )
33 eloni 4402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  w )  e.  On  ->  Ord  ( F `  w ) )
34 ordirr 4410 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord  ( F `  w
)  ->  -.  ( F `  w )  e.  ( F `  w
) )
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Smo 
F  ->  -.  ( F `  w )  e.  ( F `  w
) )
3635ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  -.  ( F `  w )  e.  ( F `  w ) )
37363ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  z  e.  w  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  ->  -.  ( F `  w
)  e.  ( F `
 w ) )
3831, 37pm2.65i 165 . . . . . . . . . 10  |-  -.  (
( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  z  e.  w  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )
3938pm2.21i 123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  z  e.  w  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
z  =  w )
40393exp 1150 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
z  e.  w  -> 
( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) ) )
41 ax-1 5 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  -> 
z  =  w ) )
4241a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
z  =  w  -> 
( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) ) )
43 simp1rl 1020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  w  e.  z  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
z  e.  A )
44153ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  w  e.  z  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )
45 simp2 956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  w  e.  z  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  ->  w  e.  z )
46 simp3 957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  w  e.  z  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
( F `  z
)  =  ( F `
 w ) )
47 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
4847eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  y
)  e.  ( F `
 x )  <->  ( F `  y )  e.  ( F `  z ) ) )
4948raleqbi1dv 2744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x )  <->  A. y  e.  z  ( F `  y )  e.  ( F `  z ) ) )
5049rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x )  ->  A. y  e.  z  ( F `  y )  e.  ( F `  z ) ) )
51 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
5251eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  w  ->  (
( F `  y
)  e.  ( F `
 z )  <->  ( F `  w )  e.  ( F `  z ) ) )
5352rspccv 2881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  z  ( F `  y )  e.  ( F `  z
)  ->  ( w  e.  z  ->  ( F `
 w )  e.  ( F `  z
) ) )
5450, 53syl6 29 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x )  ->  (
w  e.  z  -> 
( F `  w
)  e.  ( F `
 z ) ) ) )
55543imp 1145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x
)  /\  w  e.  z )  ->  ( F `  w )  e.  ( F `  z
) )
56 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  (
( F `  w
)  e.  ( F `
 z )  <->  ( F `  w )  e.  ( F `  w ) ) )
5756biimpac 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  w
)  e.  ( F `
 z )  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
( F `  w
)  e.  ( F `
 w ) )
5855, 57sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x )  /\  w  e.  z )  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
( F `  w
)  e.  ( F `
 w ) )
5943, 44, 45, 46, 58syl31anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  w  e.  z  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
( F `  w
)  e.  ( F `
 w ) )
60363ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  w  e.  z  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  ->  -.  ( F `  w
)  e.  ( F `
 w ) )
6159, 60pm2.65i 165 . . . . . . . . . 10  |-  -.  (
( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  w  e.  z  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )
6261pm2.21i 123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  w  e.  z  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
z  =  w )
63623exp 1150 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
w  e.  z  -> 
( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) ) )
6440, 42, 633jaod 1246 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z
)  ->  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) ) )
6511, 64syl5 28 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( Ord  z  /\  Ord  w )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  -> 
z  =  w ) ) )
6665ex 423 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  (
( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  ->  ( ( Ord  z  /\  Ord  w
)  ->  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) ) ) )
6710, 66mpdd 36 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  (
( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  ->  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) ) )
6867ralrimivv 2634 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) )
692, 68sylan 457 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  Smo  F )  ->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) )
70 dff13 5783 . 2  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  -> 
z  =  w ) ) )
711, 69, 70sylanbrc 645 1  |-  ( ( F : A --> B  /\  Smo  F )  ->  F : A -1-1-> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    \/ w3o 933    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   Ord word 4391   Oncon0 4392    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   ` cfv 5255   Smo wsmo 6362
This theorem is referenced by:  smoiso2  6386  alephf1ALT  7730
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fv 5263  df-smo 6363
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