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Theorem smo11 6618
Description: A strictly monotone ordinal function is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
smo11  |-  ( ( F : A --> B  /\  Smo  F )  ->  F : A -1-1-> B )

Proof of Theorem smo11
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  Smo  F )  ->  F : A --> B )
2 ffn 5583 . . 3  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
3 smodm2 6609 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  Ord  A )
4 ordelord 4595 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  A  /\  z  e.  A )  ->  Ord  z )
54ex 424 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  ->  ( z  e.  A  ->  Ord  z
) )
63, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  (
z  e.  A  ->  Ord  z ) )
7 ordelord 4595 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  A  /\  w  e.  A )  ->  Ord  w )
87ex 424 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  ->  ( w  e.  A  ->  Ord  w
) )
93, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  (
w  e.  A  ->  Ord  w ) )
106, 9anim12d 547 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  (
( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  ->  ( Ord  z  /\  Ord  w ) ) )
11 ordtri3or 4605 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  z  /\  Ord  w )  ->  (
z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z ) )
12 simp1rr 1023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  z  e.  w  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  ->  w  e.  A )
13 smoel2 6617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x
) )  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x
) )
1413ralrimivva 2790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )
1514adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )
16153ad2ant1 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  z  e.  w  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )
17 simp2 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  z  e.  w  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
z  e.  w )
18 simp3 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  z  e.  w  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
( F `  z
)  =  ( F `
 w ) )
19 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
2019eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  y
)  e.  ( F `
 x )  <->  ( F `  y )  e.  ( F `  w ) ) )
2120raleqbi1dv 2904 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x )  <->  A. y  e.  w  ( F `  y )  e.  ( F `  w ) ) )
2221rspcv 3040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x )  ->  A. y  e.  w  ( F `  y )  e.  ( F `  w ) ) )
23 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
2423eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  z  ->  (
( F `  y
)  e.  ( F `
 w )  <->  ( F `  z )  e.  ( F `  w ) ) )
2524rspccv 3041 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  e.  w  ( F `  y )  e.  ( F `  w
)  ->  ( z  e.  w  ->  ( F `
 z )  e.  ( F `  w
) ) )
2622, 25syl6 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x )  ->  (
z  e.  w  -> 
( F `  z
)  e.  ( F `
 w ) ) ) )
27263imp 1147 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x
)  /\  z  e.  w )  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  w
) )
28 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( F `
 w )  <->  ( F `  w )  e.  ( F `  w ) ) )
2928biimpac 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  ( F `
 w )  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
( F `  w
)  e.  ( F `
 w ) )
3027, 29sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x )  /\  z  e.  w )  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
( F `  w
)  e.  ( F `
 w ) )
3112, 16, 17, 18, 30syl31anc 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  z  e.  w  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
( F `  w
)  e.  ( F `
 w ) )
32 smofvon2 6610 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Smo 
F  ->  ( F `  w )  e.  On )
33 eloni 4583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  w )  e.  On  ->  Ord  ( F `  w ) )
34 ordirr 4591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  ( F `  w
)  ->  -.  ( F `  w )  e.  ( F `  w
) )
3532, 33, 343syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Smo 
F  ->  -.  ( F `  w )  e.  ( F `  w
) )
3635ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  -.  ( F `  w )  e.  ( F `  w ) )
37363ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  z  e.  w  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  ->  -.  ( F `  w
)  e.  ( F `
 w ) )
3831, 37pm2.21dd 101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  z  e.  w  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
z  =  w )
39383exp 1152 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
z  e.  w  -> 
( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) ) )
40 ax-1 5 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  -> 
z  =  w ) )
4140a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
z  =  w  -> 
( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) ) )
42 simp1rl 1022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  w  e.  z  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
z  e.  A )
43153ad2ant1 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  w  e.  z  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )
44 simp2 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  w  e.  z  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  ->  w  e.  z )
45 simp3 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  w  e.  z  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
( F `  z
)  =  ( F `
 w ) )
46 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
4746eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  y
)  e.  ( F `
 x )  <->  ( F `  y )  e.  ( F `  z ) ) )
4847raleqbi1dv 2904 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x )  <->  A. y  e.  z  ( F `  y )  e.  ( F `  z ) ) )
4948rspcv 3040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x )  ->  A. y  e.  z  ( F `  y )  e.  ( F `  z ) ) )
50 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
5150eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  w  ->  (
( F `  y
)  e.  ( F `
 z )  <->  ( F `  w )  e.  ( F `  z ) ) )
5251rspccv 3041 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  e.  z  ( F `  y )  e.  ( F `  z
)  ->  ( w  e.  z  ->  ( F `
 w )  e.  ( F `  z
) ) )
5349, 52syl6 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x )  ->  (
w  e.  z  -> 
( F `  w
)  e.  ( F `
 z ) ) ) )
54533imp 1147 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x
)  /\  w  e.  z )  ->  ( F `  w )  e.  ( F `  z
) )
55 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  (
( F `  w
)  e.  ( F `
 z )  <->  ( F `  w )  e.  ( F `  w ) ) )
5655biimpac 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  w
)  e.  ( F `
 z )  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
( F `  w
)  e.  ( F `
 w ) )
5754, 56sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x )  /\  w  e.  z )  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
( F `  w
)  e.  ( F `
 w ) )
5842, 43, 44, 45, 57syl31anc 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  w  e.  z  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
( F `  w
)  e.  ( F `
 w ) )
59363ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  w  e.  z  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  ->  -.  ( F `  w
)  e.  ( F `
 w ) )
6058, 59pm2.21dd 101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  w  e.  z  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
z  =  w )
61603exp 1152 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
w  e.  z  -> 
( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) ) )
6239, 41, 613jaod 1248 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z
)  ->  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) ) )
6311, 62syl5 30 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( Ord  z  /\  Ord  w )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  -> 
z  =  w ) ) )
6463ex 424 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  (
( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  ->  ( ( Ord  z  /\  Ord  w
)  ->  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) ) ) )
6510, 64mpdd 38 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  (
( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  ->  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) ) )
6665ralrimivv 2789 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) )
672, 66sylan 458 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  Smo  F )  ->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) )
68 dff13 5996 . 2  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  -> 
z  =  w ) ) )
691, 67, 68sylanbrc 646 1  |-  ( ( F : A --> B  /\  Smo  F )  ->  F : A -1-1-> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    \/ w3o 935    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   Ord word 4572   Oncon0 4573    Fn wfn 5441   -->wf 5442   -1-1->wf1 5443   ` cfv 5446   Smo wsmo 6599
This theorem is referenced by:  smoiso2  6623  alephf1ALT  7976
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fv 5454  df-smo 6600
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