Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smobeth Unicode version

Theorem smobeth 8298
 Description: The beth function is strictly monotone. This function is not strictly the beth function, but rather bethA is the same as , since conventionally we start counting at the first infinite level, and ignore the finite levels. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
smobeth

Proof of Theorem smobeth
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cardf2 7666 . . . . . . 7
2 ffun 5474 . . . . . . 7
31, 2ax-mp 8 . . . . . 6
4 r1fnon 7529 . . . . . . 7
5 fnfun 5423 . . . . . . 7
64, 5ax-mp 8 . . . . . 6
7 funco 5374 . . . . . 6
83, 6, 7mp2an 653 . . . . 5
9 funfn 5365 . . . . 5
108, 9mpbi 199 . . . 4
11 rnco 5261 . . . . 5
12 resss 5061 . . . . . . 7
13 rnss 4989 . . . . . . 7
1412, 13ax-mp 8 . . . . . 6
15 frn 5478 . . . . . . 7
161, 15ax-mp 8 . . . . . 6
1714, 16sstri 3264 . . . . 5
1811, 17eqsstri 3284 . . . 4
19 df-f 5341 . . . 4
2010, 18, 19mpbir2an 886 . . 3
21 dmco 5263 . . . 4
2221feq2i 5467 . . 3
2320, 22mpbi 199 . 2
24 elpreima 5728 . . . . . . . . 9
254, 24ax-mp 8 . . . . . . . 8
2625simplbi 446 . . . . . . 7
27 onelon 4499 . . . . . . 7
2826, 27sylan 457 . . . . . 6
2925simprbi 450 . . . . . . . 8
3029adantr 451 . . . . . . 7
31 r1ord2 7543 . . . . . . . . 9
3231imp 418 . . . . . . . 8
3326, 32sylan 457 . . . . . . 7
34 ssnum 7756 . . . . . . 7
3530, 33, 34syl2anc 642 . . . . . 6
36 elpreima 5728 . . . . . . 7
374, 36ax-mp 8 . . . . . 6
3828, 35, 37sylanbrc 645 . . . . 5
3938rgen2 2715 . . . 4
40 dftr5 4197 . . . 4
4139, 40mpbir 200 . . 3
42 cnvimass 5115 . . . . 5
43 dffn2 5473 . . . . . . 7
444, 43mpbi 199 . . . . . 6
4544fdmi 5477 . . . . 5
4642, 45sseqtri 3286 . . . 4
47 epweon 4657 . . . 4
48 wess 4462 . . . 4
4946, 47, 48mp2 17 . . 3
50 df-ord 4477 . . 3
5141, 49, 50mpbir2an 886 . 2
52 r1sdom 7536 . . . . . . 7
5326, 52sylan 457 . . . . . 6
54 cardsdom2 7711 . . . . . . 7
5535, 30, 54syl2anc 642 . . . . . 6
5653, 55mpbird 223 . . . . 5
57 fvco2 5677 . . . . . . 7
584, 28, 57sylancr 644 . . . . . 6
5926adantr 451 . . . . . . 7
60 fvco2 5677 . . . . . . 7
614, 59, 60sylancr 644 . . . . . 6
6258, 61eleq12d 2426 . . . . 5
6356, 62mpbird 223 . . . 4
6463ex 423 . . 3
6564adantl 452 . 2
6623, 51, 65, 21issmo 6452 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1642   wcel 1710  cab 2344  wral 2619  wrex 2620  cvv 2864   wss 3228   class class class wbr 4104   wtr 4194   cep 4385   wwe 4433   word 4473  con0 4474  ccnv 4770   cdm 4771   crn 4772   cres 4773  cima 4774   ccom 4775   wfun 5331   wfn 5332  wf 5333  cfv 5337   wsmo 6449   cen 6948   csdm 6950  cr1 7524  ccrd 7658 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-riota 6391  df-smo 6450  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-r1 7526  df-card 7662
 Copyright terms: Public domain W3C validator