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Theorem smoel 6393
Description: If  x is less than  y then a strictly monotone function's value will be strictly less at  x than at  y. (Contributed by Andrew Salmon, 22-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
smoel  |-  ( ( Smo  B  /\  A  e.  dom  B  /\  C  e.  A )  ->  ( B `  C )  e.  ( B `  A
) )

Proof of Theorem smoel
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smodm 6384 . . . . 5  |-  ( Smo 
B  ->  Ord  dom  B
)
2 ordtr1 4451 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
dom  B  ->  ( ( C  e.  A  /\  A  e.  dom  B )  ->  C  e.  dom  B ) )
32ancomsd 440 . . . . . 6  |-  ( Ord 
dom  B  ->  ( ( A  e.  dom  B  /\  C  e.  A
)  ->  C  e.  dom  B ) )
43expdimp 426 . . . . 5  |-  ( ( Ord  dom  B  /\  A  e.  dom  B )  ->  ( C  e.  A  ->  C  e.  dom  B ) )
51, 4sylan 457 . . . 4  |-  ( ( Smo  B  /\  A  e.  dom  B )  -> 
( C  e.  A  ->  C  e.  dom  B
) )
6 df-smo 6379 . . . . . 6  |-  ( Smo 
B  <->  ( B : dom  B --> On  /\  Ord  dom 
B  /\  A. x  e.  dom  B A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y
) ) ) )
7 eleq1 2356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  C  ->  (
x  e.  y  <->  C  e.  y ) )
8 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  C  ->  ( B `  x )  =  ( B `  C ) )
98eleq1d 2362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  C  ->  (
( B `  x
)  e.  ( B `
 y )  <->  ( B `  C )  e.  ( B `  y ) ) )
107, 9imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  C  ->  (
( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) )  <->  ( C  e.  y  ->  ( B `  C )  e.  ( B `  y ) ) ) )
11 eleq2 2357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  ( C  e.  y  <->  C  e.  A ) )
12 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  A  ->  ( B `  y )  =  ( B `  A ) )
1312eleq2d 2363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
( B `  C
)  e.  ( B `
 y )  <->  ( B `  C )  e.  ( B `  A ) ) )
1411, 13imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
( C  e.  y  ->  ( B `  C )  e.  ( B `  y ) )  <->  ( C  e.  A  ->  ( B `  C )  e.  ( B `  A ) ) ) )
1510, 14rspc2v 2903 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  dom  B  /\  A  e.  dom  B )  ->  ( A. x  e.  dom  B A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  -> 
( B `  x
)  e.  ( B `
 y ) )  ->  ( C  e.  A  ->  ( B `  C )  e.  ( B `  A ) ) ) )
1615ancoms 439 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  B  /\  C  e.  dom  B )  ->  ( A. x  e.  dom  B A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  -> 
( B `  x
)  e.  ( B `
 y ) )  ->  ( C  e.  A  ->  ( B `  C )  e.  ( B `  A ) ) ) )
1716com12 27 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  dom  B A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  -> 
( B `  x
)  e.  ( B `
 y ) )  ->  ( ( A  e.  dom  B  /\  C  e.  dom  B )  ->  ( C  e.  A  ->  ( B `  C )  e.  ( B `  A ) ) ) )
18173ad2ant3 978 . . . . . 6  |-  ( ( B : dom  B --> On  /\  Ord  dom  B  /\  A. x  e.  dom  B A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) ) )  ->  (
( A  e.  dom  B  /\  C  e.  dom  B )  ->  ( C  e.  A  ->  ( B `
 C )  e.  ( B `  A
) ) ) )
196, 18sylbi 187 . . . . 5  |-  ( Smo 
B  ->  ( ( A  e.  dom  B  /\  C  e.  dom  B )  ->  ( C  e.  A  ->  ( B `  C )  e.  ( B `  A ) ) ) )
2019expdimp 426 . . . 4  |-  ( ( Smo  B  /\  A  e.  dom  B )  -> 
( C  e.  dom  B  ->  ( C  e.  A  ->  ( B `  C )  e.  ( B `  A ) ) ) )
215, 20syld 40 . . 3  |-  ( ( Smo  B  /\  A  e.  dom  B )  -> 
( C  e.  A  ->  ( C  e.  A  ->  ( B `  C
)  e.  ( B `
 A ) ) ) )
2221pm2.43d 44 . 2  |-  ( ( Smo  B  /\  A  e.  dom  B )  -> 
( C  e.  A  ->  ( B `  C
)  e.  ( B `
 A ) ) )
23223impia 1148 1  |-  ( ( Smo  B  /\  A  e.  dom  B  /\  C  e.  A )  ->  ( B `  C )  e.  ( B `  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   Ord word 4407   Oncon0 4408   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271   Smo wsmo 6378
This theorem is referenced by:  smoiun  6394  smoel2  6396
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-tr 4130  df-ord 4411  df-iota 5235  df-fv 5279  df-smo 6379
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