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Theorem smoeq 6367
Description: Equality theorem for strictly monotone functions. (Contributed by Andrew Salmon, 16-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
smoeq  |-  ( A  =  B  ->  ( Smo  A  <->  Smo  B ) )

Proof of Theorem smoeq
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  A  =  B )
2 dmeq 4879 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  dom  A  =  dom  B )
31, 2feq12d 5381 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  ( A : dom  A --> On  <->  B : dom  B --> On ) )
4 ordeq 4399 . . . 4  |-  ( dom 
A  =  dom  B  ->  ( Ord  dom  A  <->  Ord 
dom  B ) )
52, 4syl 15 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  ( Ord  dom  A  <->  Ord  dom  B
) )
6 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  ( A `  x )  =  ( B `  x ) )
7 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  ( A `  y )  =  ( B `  y ) )
86, 7eleq12d 2351 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  (
( A `  x
)  e.  ( A `
 y )  <->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) ) )
98imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  (
( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y ) )  <->  ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) ) ) )
1092ralbidv 2585 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y ) )  <->  A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) ) ) )
112raleqdv 2742 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) )  <->  A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) ) ) )
1211ralbidv 2563 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) )  <->  A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) ) ) )
132raleqdv 2742 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) )  <->  A. x  e.  dom  B A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) ) ) )
1410, 12, 133bitrd 270 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  ( A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y ) )  <->  A. x  e.  dom  B A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) ) ) )
153, 5, 143anbi123d 1252 . 2  |-  ( A  =  B  ->  (
( A : dom  A --> On  /\  Ord  dom  A  /\  A. x  e. 
dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y
) ) )  <->  ( B : dom  B --> On  /\  Ord  dom  B  /\  A. x  e.  dom  B A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  -> 
( B `  x
)  e.  ( B `
 y ) ) ) ) )
16 df-smo 6363 . 2  |-  ( Smo 
A  <->  ( A : dom  A --> On  /\  Ord  dom 
A  /\  A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y
) ) ) )
17 df-smo 6363 . 2  |-  ( Smo 
B  <->  ( B : dom  B --> On  /\  Ord  dom 
B  /\  A. x  e.  dom  B A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y
) ) ) )
1815, 16, 173bitr4g 279 1  |-  ( A  =  B  ->  ( Smo  A  <->  Smo  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   Ord word 4391   Oncon0 4392   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255   Smo wsmo 6362
This theorem is referenced by:  smores3  6370  smo0  6375  cofsmo  7895  cfsmolem  7896  alephsing  7902
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-smo 6363
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