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Theorem smoord 6382
Description: A strictly monotone ordinal function preserves strict ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
smoord  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  ( C  e.  D  <->  ( F `  C )  e.  ( F `  D ) ) )

Proof of Theorem smoord
StepHypRef Expression
1 smodm2 6372 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  Ord  A )
21adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  Ord  A )
3 simprl 732 . . 3  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  C  e.  A )
4 ordelord 4414 . . 3  |-  ( ( Ord  A  /\  C  e.  A )  ->  Ord  C )
52, 3, 4syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  Ord  C )
6 simprr 733 . . 3  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  D  e.  A )
7 ordelord 4414 . . 3  |-  ( ( Ord  A  /\  D  e.  A )  ->  Ord  D )
82, 6, 7syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  Ord  D )
9 ordtri3or 4424 . . 3  |-  ( ( Ord  C  /\  Ord  D )  ->  ( C  e.  D  \/  C  =  D  \/  D  e.  C ) )
10 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
)  /\  C  e.  D )  ->  C  e.  D )
11 smoel2 6380 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( D  e.  A  /\  C  e.  D
) )  ->  ( F `  C )  e.  ( F `  D
) )
1211expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  D  e.  A )  ->  ( C  e.  D  ->  ( F `  C
)  e.  ( F `
 D ) ) )
1312adantrl 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  ( C  e.  D  ->  ( F `  C )  e.  ( F `  D ) ) )
14133impia 1148 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
)  /\  C  e.  D )  ->  ( F `  C )  e.  ( F `  D
) )
1510, 142thd 231 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
)  /\  C  e.  D )  ->  ( C  e.  D  <->  ( F `  C )  e.  ( F `  D ) ) )
16153expia 1153 . . . 4  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  ( C  e.  D  ->  ( C  e.  D  <->  ( F `  C )  e.  ( F `  D ) ) ) )
17 ordirr 4410 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
C  ->  -.  C  e.  C )
185, 17syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  -.  C  e.  C )
19183adant3 975 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
)  /\  C  =  D )  ->  -.  C  e.  C )
20 simp3 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
)  /\  C  =  D )  ->  C  =  D )
2120eleq2d 2350 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
)  /\  C  =  D )  ->  ( C  e.  C  <->  C  e.  D ) )
2219, 21mtbid 291 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
)  /\  C  =  D )  ->  -.  C  e.  D )
23 smofvon2 6373 . . . . . . . . . 10  |-  ( Smo 
F  ->  ( F `  C )  e.  On )
2423ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  ( F `  C )  e.  On )
25 eloni 4402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  C )  e.  On  ->  Ord  ( F `  C ) )
26 ordirr 4410 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord  ( F `  C
)  ->  -.  ( F `  C )  e.  ( F `  C
) )
2724, 25, 263syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  -.  ( F `  C )  e.  ( F `  C ) )
28273adant3 975 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
)  /\  C  =  D )  ->  -.  ( F `  C )  e.  ( F `  C ) )
2920fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
)  /\  C  =  D )  ->  ( F `  C )  =  ( F `  D ) )
3029eleq2d 2350 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
)  /\  C  =  D )  ->  (
( F `  C
)  e.  ( F `
 C )  <->  ( F `  C )  e.  ( F `  D ) ) )
3128, 30mtbid 291 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
)  /\  C  =  D )  ->  -.  ( F `  C )  e.  ( F `  D ) )
3222, 312falsed 340 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
)  /\  C  =  D )  ->  ( C  e.  D  <->  ( F `  C )  e.  ( F `  D ) ) )
33323expia 1153 . . . 4  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  ( C  =  D  ->  ( C  e.  D  <->  ( F `  C )  e.  ( F `  D ) ) ) )
3483adant3 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
)  /\  D  e.  C )  ->  Ord  D )
35 ordn2lp 4412 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
D  ->  -.  ( D  e.  C  /\  C  e.  D )
)
3634, 35syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
)  /\  D  e.  C )  ->  -.  ( D  e.  C  /\  C  e.  D
) )
37 pm3.2 434 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  C  ->  ( C  e.  D  ->  ( D  e.  C  /\  C  e.  D )
) )
38373ad2ant3 978 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
)  /\  D  e.  C )  ->  ( C  e.  D  ->  ( D  e.  C  /\  C  e.  D )
) )
3936, 38mtod 168 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
)  /\  D  e.  C )  ->  -.  C  e.  D )
4024, 25syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  Ord  ( F `  C ) )
41403adant3 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
)  /\  D  e.  C )  ->  Ord  ( F `  C ) )
42 ordn2lp 4412 . . . . . . . 8  |-  ( Ord  ( F `  C
)  ->  -.  (
( F `  C
)  e.  ( F `
 D )  /\  ( F `  D )  e.  ( F `  C ) ) )
4341, 42syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
)  /\  D  e.  C )  ->  -.  ( ( F `  C )  e.  ( F `  D )  /\  ( F `  D )  e.  ( F `  C ) ) )
44 smoel2 6380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  C
) )  ->  ( F `  D )  e.  ( F `  C
) )
4544adantrlr 703 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( ( C  e.  A  /\  D  e.  A )  /\  D  e.  C ) )  -> 
( F `  D
)  e.  ( F `
 C ) )
46453impb 1147 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
)  /\  D  e.  C )  ->  ( F `  D )  e.  ( F `  C
) )
47 pm3.21 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  D )  e.  ( F `  C )  ->  (
( F `  C
)  e.  ( F `
 D )  -> 
( ( F `  C )  e.  ( F `  D )  /\  ( F `  D )  e.  ( F `  C ) ) ) )
4846, 47syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
)  /\  D  e.  C )  ->  (
( F `  C
)  e.  ( F `
 D )  -> 
( ( F `  C )  e.  ( F `  D )  /\  ( F `  D )  e.  ( F `  C ) ) ) )
4943, 48mtod 168 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
)  /\  D  e.  C )  ->  -.  ( F `  C )  e.  ( F `  D ) )
5039, 492falsed 340 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
)  /\  D  e.  C )  ->  ( C  e.  D  <->  ( F `  C )  e.  ( F `  D ) ) )
51503expia 1153 . . . 4  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  ( D  e.  C  ->  ( C  e.  D  <->  ( F `  C )  e.  ( F `  D ) ) ) )
5216, 33, 513jaod 1246 . . 3  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  (
( C  e.  D  \/  C  =  D  \/  D  e.  C
)  ->  ( C  e.  D  <->  ( F `  C )  e.  ( F `  D ) ) ) )
539, 52syl5 28 . 2  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  (
( Ord  C  /\  Ord  D )  ->  ( C  e.  D  <->  ( F `  C )  e.  ( F `  D ) ) ) )
545, 8, 53mp2and 660 1  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  ( C  e.  D  <->  ( F `  C )  e.  ( F `  D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    \/ w3o 933    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   Ord word 4391   Oncon0 4392    Fn wfn 5250   ` cfv 5255   Smo wsmo 6362
This theorem is referenced by:  smoword  6383  smoiso2  6386
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-smo 6363
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