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Theorem smu01lem 12999
Description: Lemma for smu01 13000 and smu02 13001. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smu01lem.1  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
smu01lem.2  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
smu01lem.3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  n  e. 
NN0 ) )  ->  -.  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) )
Assertion
Ref Expression
smu01lem  |-  ( ph  ->  ( A smul  B )  =  (/) )
Distinct variable groups:    k, n, A    B, k, n    ph, k, n

Proof of Theorem smu01lem
Dummy variables  m  p  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smu01lem.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
2 smu01lem.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
3 smucl 12998 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  ( A smul  B )  C_  NN0 )
41, 2, 3syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A smul  B ) 
C_  NN0 )
54sseld 3349 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A smul  B )  -> 
k  e.  NN0 )
)
6 noel 3634 . . . . . . 7  |-  -.  k  e.  (/)
7 peano2nn0 10262 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
8 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  0
) )
98eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  (
(  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  x )  =  (/)  <->  (  seq  0
( ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  0
)  =  (/) ) )
109imbi2d 309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  (
( ph  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  =  (/) )  <->  ( ph  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  0 )  =  (/) ) ) )
11 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  k  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
) )
1211eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  k  ->  (
(  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  x )  =  (/)  <->  (  seq  0
( ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
)  =  (/) ) )
1312imbi2d 309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  k  ->  (
( ph  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  =  (/) )  <->  ( ph  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  k )  =  (/) ) ) )
14 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) )
1514eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
(  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  x )  =  (/)  <->  (  seq  0
( ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  (/) ) )
1615imbi2d 309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  =  (/) )  <->  ( ph  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (/) ) ) )
17 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  seq  0
( ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
181, 2, 17smup0 12993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  0 )  =  (/) )
19 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
)  =  (/)  ->  (
(  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  k ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } )  =  (
(/) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) )
201adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  C_  NN0 )
212adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  C_  NN0 )
22 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
2320, 21, 17, 22smupp1 12994 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) )
24 smu01lem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  n  e. 
NN0 ) )  ->  -.  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) )
2524anassrs 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  -.  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) )
2625ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  A. n  e.  NN0  -.  ( k  e.  A  /\  (
n  -  k )  e.  B ) )
27 rabeq0 3651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) }  =  (/)  <->  A. n  e.  NN0  -.  ( k  e.  A  /\  (
n  -  k )  e.  B ) )
2826, 27sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  (
n  -  k )  e.  B ) }  =  (/) )
2928oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (/) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  (
n  -  k )  e.  B ) } )  =  ( (/) sadd  (/) ) )
30 0ss 3658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (/)  C_  NN0
31 sadid1 12982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (/)  C_ 
NN0  ->  ( (/) sadd  (/) )  =  (/) )
3230, 31mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (/) sadd  (/) )  =  (/) )
3329, 32eqtr2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  (/)  =  (
(/) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) )
3423, 33eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  (/)  <->  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } )  =  (
(/) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) ) )
3519, 34syl5ibr 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
)  =  (/)  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  (/) ) )
3635expcom 426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( (  seq  0
( ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
)  =  (/)  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  (/) ) ) )
3736a2d 25 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  (  seq  0
( ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
)  =  (/) )  -> 
( ph  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  (/) ) ) )
3810, 13, 16, 16, 18, 37nn0ind 10368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ph  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (/) ) )
397, 38syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ph  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (/) ) )
4039impcom 421 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  (/) )
4140eleq2d 2505 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  e.  (  seq  0
( ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  <->  k  e.  (/) ) )
426, 41mtbiri 296 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  -.  k  e.  (  seq  0
( ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) )
4320, 21, 17, 22smuval 12995 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  e.  ( A smul  B )  <-> 
k  e.  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) ) )
4442, 43mtbird 294 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  -.  k  e.  ( A smul  B ) )
4544ex 425 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN0  ->  -.  k  e.  ( A smul  B ) ) )
465, 45syld 43 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A smul  B )  ->  -.  k  e.  ( A smul  B ) ) )
4746pm2.01d 164 . 2  |-  ( ph  ->  -.  k  e.  ( A smul  B ) )
4847eq0rdv 3664 1  |-  ( ph  ->  ( A smul  B )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {crab 2711    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ifcif 3741   ~Pcpw 3801    e. cmpt 4268   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    e. cmpt2 6085   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    - cmin 9293   NN0cn0 10223    seq cseq 11325   sadd csad 12934   smul csmu 12935
This theorem is referenced by:  smu01  13000  smu02  13001
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-xor 1315  df-tru 1329  df-had 1390  df-cad 1391  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-seq 11326  df-sad 12965  df-smu 12990
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