MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smucl Unicode version

Theorem smucl 12675
Description: The product of two sequences is a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
smucl  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  ( A smul  B )  C_  NN0 )

Proof of Theorem smucl
Dummy variables  k  m  n  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3258 . 2  |-  { k  e.  NN0  |  k  e.  (  seq  0
( ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) }  C_  NN0
2 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  A  C_ 
NN0 )
3 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  B  C_ 
NN0 )
4 eqid 2283 . . . 4  |-  seq  0
( ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
52, 3, 4smufval 12668 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  ( A smul  B )  =  {
k  e.  NN0  | 
k  e.  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) } )
65sseq1d 3205 . 2  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  (
( A smul  B )  C_ 
NN0 
<->  { k  e.  NN0  |  k  e.  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) }  C_  NN0 )
)
71, 6mpbiri 224 1  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  ( A smul  B )  C_  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   ~Pcpw 3625    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    - cmin 9037   NN0cn0 9965    seq cseq 11046   sadd csad 12611   smul csmu 12612
This theorem is referenced by:  smu01lem  12676  smumul  12684
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-nn 9747  df-n0 9966  df-seq 11047  df-smu 12667
  Copyright terms: Public domain W3C validator