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Theorem smueqlem 12929
Description: Any element of a sequence multiplication only depends on the values of the argument sequences up to and including that point. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smueq.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
smueq.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
smueq.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
smueq.p  |-  P  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
smueq.q  |-  Q  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
smueqlem  |-  ( ph  ->  ( ( A smul  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
Distinct variable groups:    m, n, p, A    B, m, n, p    m, N, n, p    ph, n
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    P( m, n, p)    Q( m, n, p)

Proof of Theorem smueqlem
Dummy variables  k 
i  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smueq.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
21adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  A  C_  NN0 )
3 smueq.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
43adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  B  C_  NN0 )
5 smueq.p . . . . . . 7  |-  P  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
6 elfzouz 11074 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
76adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
8 nn0uz 10452 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
97, 8syl6eleqr 2478 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  k  e.  NN0 )
109nn0zd 10305 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  k  e.  ZZ )
1110peano2zd 10310 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ )
12 smueq.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
1312adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  N  e.  NN0 )
1413nn0zd 10305 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  N  e.  ZZ )
15 elfzolt2 11078 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  k  <  N )
1615adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  k  <  N
)
17 nn0ltp1le 10264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( k  <  N  <->  ( k  +  1 )  <_  N ) )
189, 13, 17syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  < 
N  <->  ( k  +  1 )  <_  N
) )
1916, 18mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  <_  N
)
20 eluz2 10426 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  (
k  +  1 ) )  <->  ( ( k  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( k  +  1 )  <_  N ) )
2111, 14, 19, 20syl3anbrc 1138 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )
222, 4, 5, 9, 21smuval2 12921 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  e.  ( A smul  B )  <-> 
k  e.  ( P `
 N ) ) )
2312, 8syl6eleq 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
24 eluzfz2b 10998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  N  e.  (
0 ... N ) )
2523, 24sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... N ) )
26 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  0  ->  ( P `  x )  =  ( P ` 
0 ) )
2726ineq1d 3484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
( P `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( P ` 
0 )  i^i  (
0..^ N ) ) )
28 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  0  ->  ( Q `  x )  =  ( Q ` 
0 ) )
2928ineq1d 3484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
( Q `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q ` 
0 )  i^i  (
0..^ N ) ) )
3027, 29eqeq12d 2401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( P `  x )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( Q `
 x )  i^i  ( 0..^ N ) )  <->  ( ( P `
 0 )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  0 )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
3130imbi2d 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  (
( ph  ->  ( ( P `  x )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( P `  0 )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  0
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
32 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  i  ->  ( P `  x )  =  ( P `  i ) )
3332ineq1d 3484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  i  ->  (
( P `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( P `  i )  i^i  (
0..^ N ) ) )
34 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  i  ->  ( Q `  x )  =  ( Q `  i ) )
3534ineq1d 3484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  i  ->  (
( Q `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  i )  i^i  (
0..^ N ) ) )
3633, 35eqeq12d 2401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  i  ->  (
( ( P `  x )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( Q `
 x )  i^i  ( 0..^ N ) )  <->  ( ( P `
 i )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  i )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
3736imbi2d 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  (
( ph  ->  ( ( P `  x )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( P `  i )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  i
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
38 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( i  +  1 )  ->  ( P `  x )  =  ( P `  ( i  +  1 ) ) )
3938ineq1d 3484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( i  +  1 )  ->  (
( P `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( P `  ( i  +  1 ) )  i^i  (
0..^ N ) ) )
40 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( i  +  1 )  ->  ( Q `  x )  =  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
4140ineq1d 3484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( i  +  1 )  ->  (
( Q `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  ( i  +  1 ) )  i^i  (
0..^ N ) ) )
4239, 41eqeq12d 2401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( i  +  1 )  ->  (
( ( P `  x )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( Q `
 x )  i^i  ( 0..^ N ) )  <->  ( ( P `
 ( i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  ( i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
4342imbi2d 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( i  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( ( P `  x )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( P `  ( i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  (
i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
44 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  N  ->  ( P `  x )  =  ( P `  N ) )
4544ineq1d 3484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  N  ->  (
( P `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( P `  N )  i^i  (
0..^ N ) ) )
46 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  N  ->  ( Q `  x )  =  ( Q `  N ) )
4746ineq1d 3484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  N  ->  (
( Q `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  N )  i^i  (
0..^ N ) ) )
4845, 47eqeq12d 2401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( P `  x )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( Q `
 x )  i^i  ( 0..^ N ) )  <->  ( ( P `
 N )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  N )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
4948imbi2d 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( ( P `  x )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( P `  N )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  N
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
501, 3, 5smup0 12918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( P `  0
)  =  (/) )
51 inss1 3504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  B
5251, 3syl5ss 3302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
53 smueq.q . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Q  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
541, 52, 53smup0 12918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  =  (/) )
5550, 54eqtr4d 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( P `  0
)  =  ( Q `
 0 ) )
5655ineq1d 3484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( P ` 
0 )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( Q `
 0 )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
5756a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ph  ->  ( ( P ` 
0 )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( Q `
 0 )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
58 oveq1 6027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P `  i
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  i )  i^i  (
0..^ N ) )  ->  ( ( ( P `  i )  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( { n  e.  NN0  | 
( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( ( ( Q `  i )  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( { n  e.  NN0  | 
( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
5958ineq1d 3484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P `  i
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  i )  i^i  (
0..^ N ) )  ->  ( ( ( ( P `  i
)  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( ( Q `
 i )  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
601adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  A  C_  NN0 )
613adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  B  C_  NN0 )
62 elfzouz 11074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
6362, 8syl6eleqr 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  i  e.  NN0 )
6463adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  i  e.  NN0 )
6560, 61, 5, 64smupp1 12919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  =  ( ( P `  i
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  B ) } ) )
6665ineq1d 3484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( P `
 ( i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( P `  i
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  B ) } )  i^i  (
0..^ N ) ) )
671, 3, 5smupf 12917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  P : NN0 --> ~P NN0 )
68 ffvelrn 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P : NN0 --> ~P NN0  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( P `  i
)  e.  ~P NN0 )
6967, 63, 68syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( P `  i )  e.  ~P NN0 )
7069elpwid 3751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( P `  i )  C_  NN0 )
71 ssrab2 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) } 
C_  NN0
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  { n  e. 
NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) } 
C_  NN0 )
7312adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  N  e.  NN0 )
7470, 72, 73sadeq 12911 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( P `  i ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  B ) } )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( ( ( P `  i
)  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
7566, 74eqtrd 2419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( P `
 ( i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( ( P `  i )  i^i  (
0..^ N ) ) sadd  ( { n  e. 
NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
7652adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
7760, 76, 53, 64smupp1 12919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  =  ( ( Q `  i
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) } ) )
7877ineq1d 3484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( Q `
 ( i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( Q `  i
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) } )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
791, 52, 53smupf 12917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  Q : NN0 --> ~P NN0 )
80 ffvelrn 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Q : NN0 --> ~P NN0  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( Q `  i
)  e.  ~P NN0 )
8179, 63, 80syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( Q `  i )  e.  ~P NN0 )
8281elpwid 3751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( Q `  i )  C_  NN0 )
83 ssrab2 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) }  C_  NN0
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  { n  e. 
NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) }  C_  NN0 )
8582, 84, 73sadeq 12911 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( Q `  i ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) } )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( ( Q `  i )  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( { n  e.  NN0  | 
( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
86 inss2 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( NN0 
i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N )
8786sseli 3287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( NN0  i^i  ( 0..^ N ) )  ->  n  e.  ( 0..^ N ) )
8861adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  B  C_  NN0 )
8988sseld 3290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( (
n  -  i )  e.  B  ->  (
n  -  i )  e.  NN0 ) )
90 elfzo0 11101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  e.  ( 0..^ N )  <->  ( n  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  n  <  N
) )
9190simp2bi 973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( n  e.  ( 0..^ N )  ->  N  e.  NN )
9291adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  N  e.  NN )
9390simp1bi 972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( n  e.  ( 0..^ N )  ->  n  e.  NN0 )
9493adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  n  e.  NN0 )
9594nn0red 10207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  n  e.  RR )
9664adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  i  e.  NN0 )
9796nn0red 10207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  i  e.  RR )
9895, 97resubcld 9397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( n  -  i )  e.  RR )
9992nnred 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  N  e.  RR )
10096nn0ge0d 10209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  0  <_  i )
10195, 97subge02d 9550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( 0  <_  i  <->  ( n  -  i )  <_  n ) )
102100, 101mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( n  -  i )  <_  n )
103 elfzolt2 11078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  e.  ( 0..^ N )  ->  n  <  N )
104103adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  n  <  N )
10598, 95, 99, 102, 104lelttrd 9160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( n  -  i )  < 
N )
10692, 105jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( N  e.  NN  /\  ( n  -  i )  < 
N ) )
107 elfzo0 11101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( n  -  i )  e.  ( 0..^ N )  <->  ( ( n  -  i )  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  ( n  -  i )  <  N
) )
108 3anass 940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( n  -  i
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  (
n  -  i )  <  N )  <->  ( (
n  -  i )  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN  /\  (
n  -  i )  <  N ) ) )
109107, 108bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( n  -  i )  e.  ( 0..^ N )  <->  ( ( n  -  i )  e. 
NN0  /\  ( N  e.  NN  /\  ( n  -  i )  < 
N ) ) )
110109baib 872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( n  -  i )  e.  NN0  ->  ( ( n  -  i )  e.  ( 0..^ N )  <->  ( N  e.  NN  /\  ( n  -  i )  < 
N ) ) )
111106, 110syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( (
n  -  i )  e.  NN0  ->  ( n  -  i )  e.  ( 0..^ N ) ) )
11289, 111syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( (
n  -  i )  e.  B  ->  (
n  -  i )  e.  ( 0..^ N ) ) )
113112pm4.71rd 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( (
n  -  i )  e.  B  <->  ( (
n  -  i )  e.  ( 0..^ N )  /\  ( n  -  i )  e.  B ) ) )
114 ancom 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( n  -  i
)  e.  ( 0..^ N )  /\  (
n  -  i )  e.  B )  <->  ( (
n  -  i )  e.  B  /\  (
n  -  i )  e.  ( 0..^ N ) ) )
115 elin 3473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( n  -  i )  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  <-> 
( ( n  -  i )  e.  B  /\  ( n  -  i
)  e.  ( 0..^ N ) ) )
116114, 115bitr4i 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( n  -  i
)  e.  ( 0..^ N )  /\  (
n  -  i )  e.  B )  <->  ( n  -  i )  e.  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )
117113, 116syl6rbb 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( (
n  -  i )  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  <-> 
( n  -  i
)  e.  B ) )
118117anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( (
i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <->  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) ) )
11987, 118sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( NN0  i^i  (
0..^ N ) ) )  ->  ( (
i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <->  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) ) )
120119rabbidva 2890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  { n  e.  ( NN0  i^i  (
0..^ N ) )  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i )  e.  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) }  =  {
n  e.  ( NN0 
i^i  ( 0..^ N ) )  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  B ) } )
121 inrab2 3557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { n  e.  NN0  | 
( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) }  i^i  ( 0..^ N ) )  =  {
n  e.  ( NN0 
i^i  ( 0..^ N ) )  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) }
122 inrab2 3557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { n  e.  NN0  | 
( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) )  =  { n  e.  ( NN0  i^i  ( 0..^ N ) )  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  B ) }
123120, 121, 1223eqtr4g 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) }  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )
124123oveq2d 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( Q `  i )  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( { n  e.  NN0  | 
( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( ( ( Q `
 i )  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
125124ineq1d 3484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( ( Q `  i
)  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( ( Q `  i )  i^i  (
0..^ N ) ) sadd  ( { n  e. 
NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
12678, 85, 1253eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( Q `
 ( i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( ( Q `  i )  i^i  (
0..^ N ) ) sadd  ( { n  e. 
NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
12775, 126eqeq12d 2401 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( P `  ( i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  (
i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  <->  ( (
( ( P `  i )  i^i  (
0..^ N ) ) sadd  ( { n  e. 
NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( ( Q `  i )  i^i  (
0..^ N ) ) sadd  ( { n  e. 
NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
12859, 127syl5ibr 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( P `  i )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  i
)  i^i  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( P `  ( i  +  1 ) )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( Q `
 ( i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
129128expcom 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ph  ->  ( ( ( P `
 i )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  i )  i^i  ( 0..^ N ) )  ->  (
( P `  (
i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  ( i  +  1 ) )  i^i  (
0..^ N ) ) ) ) )
130129a2d 24 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( ph  ->  ( ( P `
 i )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  i )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  -> 
( ph  ->  ( ( P `  ( i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  (
i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
13131, 37, 43, 49, 57, 130fzind2 11125 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ph  ->  ( ( P `
 N )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  N )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
13225, 131mpcom 34 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( P `  N )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( Q `
 N )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
133132adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( P `
 N )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  N )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
134133eleq2d 2454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  e.  ( ( P `  N )  i^i  (
0..^ N ) )  <-> 
k  e.  ( ( Q `  N )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
135 elin 3473 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( P `
 N )  i^i  ( 0..^ N ) )  <->  ( k  e.  ( P `  N
)  /\  k  e.  ( 0..^ N ) ) )
136135rbaib 874 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  ( k  e.  ( ( P `  N )  i^i  (
0..^ N ) )  <-> 
k  e.  ( P `
 N ) ) )
137136adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  e.  ( ( P `  N )  i^i  (
0..^ N ) )  <-> 
k  e.  ( P `
 N ) ) )
138 elin 3473 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( Q `
 N )  i^i  ( 0..^ N ) )  <->  ( k  e.  ( Q `  N
)  /\  k  e.  ( 0..^ N ) ) )
139138rbaib 874 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  ( k  e.  ( ( Q `  N )  i^i  (
0..^ N ) )  <-> 
k  e.  ( Q `
 N ) ) )
140139adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  e.  ( ( Q `  N )  i^i  (
0..^ N ) )  <-> 
k  e.  ( Q `
 N ) ) )
141134, 137, 1403bitr3d 275 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  e.  ( P `  N
)  <->  k  e.  ( Q `  N ) ) )
14252adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
1432, 142, 53, 13smupval 12927 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( Q `  N )  =  ( ( A  i^i  (
0..^ N ) ) smul  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )
144143eleq2d 2454 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  e.  ( Q `  N
)  <->  k  e.  ( ( A  i^i  (
0..^ N ) ) smul  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) ) )
14522, 141, 1443bitrd 271 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  e.  ( A smul  B )  <-> 
k  e.  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
146145ex 424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0..^ N )  -> 
( k  e.  ( A smul  B )  <->  k  e.  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) ) ) )
147146pm5.32rd 622 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A smul  B )  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  <-> 
( k  e.  ( ( A  i^i  (
0..^ N ) ) smul  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ N ) ) ) )
148 elin 3473 . . 3  |-  ( k  e.  ( ( A smul 
B )  i^i  (
0..^ N ) )  <-> 
( k  e.  ( A smul  B )  /\  k  e.  ( 0..^ N ) ) )
149 elin 3473 . . 3  |-  ( k  e.  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  <->  ( k  e.  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ N ) ) )
150147, 148, 1493bitr4g 280 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( ( A smul  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  <->  k  e.  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
151150eqrdv 2385 1  |-  ( ph  ->  ( ( A smul  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2653    i^i cin 3262    C_ wss 3263   (/)c0 3571   ifcif 3682   ~Pcpw 3742   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    e. cmpt2 6022   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    < clt 9053    <_ cle 9054    - cmin 9223   NNcn 9932   NN0cn0 10153   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420   ...cfz 10975  ..^cfzo 11065    seq cseq 11250   sadd csad 12859   smul csmu 12860
This theorem is referenced by:  smueq  12930
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-xor 1311  df-tru 1325  df-had 1386  df-cad 1387  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-disj 4124  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-mod 11178  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-sum 12407  df-dvds 12780  df-bits 12861  df-sad 12890  df-smu 12915
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