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Theorem smueqlem 13007
Description: Any element of a sequence multiplication only depends on the values of the argument sequences up to and including that point. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smueq.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
smueq.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
smueq.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
smueq.p  |-  P  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
smueq.q  |-  Q  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
smueqlem  |-  ( ph  ->  ( ( A smul  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
Distinct variable groups:    m, n, p, A    B, m, n, p    m, N, n, p    ph, n
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    P( m, n, p)    Q( m, n, p)

Proof of Theorem smueqlem
Dummy variables  k 
i  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smueq.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
21adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  A  C_  NN0 )
3 smueq.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
43adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  B  C_  NN0 )
5 smueq.p . . . . . . 7  |-  P  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
6 elfzouz 11149 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
76adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
8 nn0uz 10525 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
97, 8syl6eleqr 2529 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  k  e.  NN0 )
109nn0zd 10378 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  k  e.  ZZ )
1110peano2zd 10383 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ )
12 smueq.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
1312adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  N  e.  NN0 )
1413nn0zd 10378 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  N  e.  ZZ )
15 elfzolt2 11153 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  k  <  N )
1615adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  k  <  N
)
17 nn0ltp1le 10337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( k  <  N  <->  ( k  +  1 )  <_  N ) )
189, 13, 17syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  < 
N  <->  ( k  +  1 )  <_  N
) )
1916, 18mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  <_  N
)
20 eluz2 10499 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  (
k  +  1 ) )  <->  ( ( k  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( k  +  1 )  <_  N ) )
2111, 14, 19, 20syl3anbrc 1139 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )
222, 4, 5, 9, 21smuval2 12999 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  e.  ( A smul  B )  <-> 
k  e.  ( P `
 N ) ) )
2312, 8syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
24 eluzfz2b 11071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  N  e.  (
0 ... N ) )
2523, 24sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... N ) )
26 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  0  ->  ( P `  x )  =  ( P ` 
0 ) )
2726ineq1d 3543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
( P `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( P ` 
0 )  i^i  (
0..^ N ) ) )
28 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  0  ->  ( Q `  x )  =  ( Q ` 
0 ) )
2928ineq1d 3543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
( Q `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q ` 
0 )  i^i  (
0..^ N ) ) )
3027, 29eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( P `  x )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( Q `
 x )  i^i  ( 0..^ N ) )  <->  ( ( P `
 0 )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  0 )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
3130imbi2d 309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  (
( ph  ->  ( ( P `  x )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( P `  0 )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  0
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
32 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  i  ->  ( P `  x )  =  ( P `  i ) )
3332ineq1d 3543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  i  ->  (
( P `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( P `  i )  i^i  (
0..^ N ) ) )
34 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  i  ->  ( Q `  x )  =  ( Q `  i ) )
3534ineq1d 3543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  i  ->  (
( Q `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  i )  i^i  (
0..^ N ) ) )
3633, 35eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  i  ->  (
( ( P `  x )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( Q `
 x )  i^i  ( 0..^ N ) )  <->  ( ( P `
 i )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  i )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
3736imbi2d 309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  (
( ph  ->  ( ( P `  x )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( P `  i )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  i
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
38 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( i  +  1 )  ->  ( P `  x )  =  ( P `  ( i  +  1 ) ) )
3938ineq1d 3543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( i  +  1 )  ->  (
( P `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( P `  ( i  +  1 ) )  i^i  (
0..^ N ) ) )
40 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( i  +  1 )  ->  ( Q `  x )  =  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
4140ineq1d 3543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( i  +  1 )  ->  (
( Q `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  ( i  +  1 ) )  i^i  (
0..^ N ) ) )
4239, 41eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( i  +  1 )  ->  (
( ( P `  x )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( Q `
 x )  i^i  ( 0..^ N ) )  <->  ( ( P `
 ( i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  ( i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
4342imbi2d 309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( i  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( ( P `  x )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( P `  ( i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  (
i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
44 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  N  ->  ( P `  x )  =  ( P `  N ) )
4544ineq1d 3543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  N  ->  (
( P `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( P `  N )  i^i  (
0..^ N ) ) )
46 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  N  ->  ( Q `  x )  =  ( Q `  N ) )
4746ineq1d 3543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  N  ->  (
( Q `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  N )  i^i  (
0..^ N ) ) )
4845, 47eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( P `  x )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( Q `
 x )  i^i  ( 0..^ N ) )  <->  ( ( P `
 N )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  N )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
4948imbi2d 309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( ( P `  x )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( P `  N )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  N
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
501, 3, 5smup0 12996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( P `  0
)  =  (/) )
51 inss1 3563 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  B
5251, 3syl5ss 3361 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
53 smueq.q . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Q  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
541, 52, 53smup0 12996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  =  (/) )
5550, 54eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( P `  0
)  =  ( Q `
 0 ) )
5655ineq1d 3543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( P ` 
0 )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( Q `
 0 )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
5756a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ph  ->  ( ( P ` 
0 )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( Q `
 0 )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
58 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P `  i
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  i )  i^i  (
0..^ N ) )  ->  ( ( ( P `  i )  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( { n  e.  NN0  | 
( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( ( ( Q `  i )  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( { n  e.  NN0  | 
( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
5958ineq1d 3543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P `  i
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  i )  i^i  (
0..^ N ) )  ->  ( ( ( ( P `  i
)  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( ( Q `
 i )  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
601adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  A  C_  NN0 )
613adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  B  C_  NN0 )
62 elfzouz 11149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
6362, 8syl6eleqr 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  i  e.  NN0 )
6463adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  i  e.  NN0 )
6560, 61, 5, 64smupp1 12997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  =  ( ( P `  i
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  B ) } ) )
6665ineq1d 3543 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( P `
 ( i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( P `  i
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  B ) } )  i^i  (
0..^ N ) ) )
671, 3, 5smupf 12995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  P : NN0 --> ~P NN0 )
68 ffvelrn 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P : NN0 --> ~P NN0  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( P `  i
)  e.  ~P NN0 )
6967, 63, 68syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( P `  i )  e.  ~P NN0 )
7069elpwid 3810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( P `  i )  C_  NN0 )
71 ssrab2 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) } 
C_  NN0
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  { n  e. 
NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) } 
C_  NN0 )
7312adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  N  e.  NN0 )
7470, 72, 73sadeq 12989 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( P `  i ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  B ) } )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( ( ( P `  i
)  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
7566, 74eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( P `
 ( i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( ( P `  i )  i^i  (
0..^ N ) ) sadd  ( { n  e. 
NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
7652adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
7760, 76, 53, 64smupp1 12997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  =  ( ( Q `  i
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) } ) )
7877ineq1d 3543 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( Q `
 ( i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( Q `  i
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) } )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
791, 52, 53smupf 12995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  Q : NN0 --> ~P NN0 )
80 ffvelrn 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Q : NN0 --> ~P NN0  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( Q `  i
)  e.  ~P NN0 )
8179, 63, 80syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( Q `  i )  e.  ~P NN0 )
8281elpwid 3810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( Q `  i )  C_  NN0 )
83 ssrab2 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) }  C_  NN0
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  { n  e. 
NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) }  C_  NN0 )
8582, 84, 73sadeq 12989 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( Q `  i ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) } )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( ( Q `  i )  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( { n  e.  NN0  | 
( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
86 inss2 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( NN0 
i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N )
8786sseli 3346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( NN0  i^i  ( 0..^ N ) )  ->  n  e.  ( 0..^ N ) )
8861adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  B  C_  NN0 )
8988sseld 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( (
n  -  i )  e.  B  ->  (
n  -  i )  e.  NN0 ) )
90 elfzo0 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  e.  ( 0..^ N )  <->  ( n  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  n  <  N
) )
9190simp2bi 974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( n  e.  ( 0..^ N )  ->  N  e.  NN )
9291adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  N  e.  NN )
9390simp1bi 973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( n  e.  ( 0..^ N )  ->  n  e.  NN0 )
9493adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  n  e.  NN0 )
9594nn0red 10280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  n  e.  RR )
9664adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  i  e.  NN0 )
9796nn0red 10280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  i  e.  RR )
9895, 97resubcld 9470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( n  -  i )  e.  RR )
9992nnred 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  N  e.  RR )
10096nn0ge0d 10282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  0  <_  i )
10195, 97subge02d 9623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( 0  <_  i  <->  ( n  -  i )  <_  n ) )
102100, 101mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( n  -  i )  <_  n )
103 elfzolt2 11153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  e.  ( 0..^ N )  ->  n  <  N )
104103adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  n  <  N )
10598, 95, 99, 102, 104lelttrd 9233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( n  -  i )  < 
N )
10692, 105jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( N  e.  NN  /\  ( n  -  i )  < 
N ) )
107 elfzo0 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( n  -  i )  e.  ( 0..^ N )  <->  ( ( n  -  i )  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  ( n  -  i )  <  N
) )
108 3anass 941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( n  -  i
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  (
n  -  i )  <  N )  <->  ( (
n  -  i )  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN  /\  (
n  -  i )  <  N ) ) )
109107, 108bitri 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( n  -  i )  e.  ( 0..^ N )  <->  ( ( n  -  i )  e. 
NN0  /\  ( N  e.  NN  /\  ( n  -  i )  < 
N ) ) )
110109baib 873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( n  -  i )  e.  NN0  ->  ( ( n  -  i )  e.  ( 0..^ N )  <->  ( N  e.  NN  /\  ( n  -  i )  < 
N ) ) )
111106, 110syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( (
n  -  i )  e.  NN0  ->  ( n  -  i )  e.  ( 0..^ N ) ) )
11289, 111syld 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( (
n  -  i )  e.  B  ->  (
n  -  i )  e.  ( 0..^ N ) ) )
113112pm4.71rd 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( (
n  -  i )  e.  B  <->  ( (
n  -  i )  e.  ( 0..^ N )  /\  ( n  -  i )  e.  B ) ) )
114 ancom 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( n  -  i
)  e.  ( 0..^ N )  /\  (
n  -  i )  e.  B )  <->  ( (
n  -  i )  e.  B  /\  (
n  -  i )  e.  ( 0..^ N ) ) )
115 elin 3532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( n  -  i )  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  <-> 
( ( n  -  i )  e.  B  /\  ( n  -  i
)  e.  ( 0..^ N ) ) )
116114, 115bitr4i 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( n  -  i
)  e.  ( 0..^ N )  /\  (
n  -  i )  e.  B )  <->  ( n  -  i )  e.  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )
117113, 116syl6rbb 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( (
n  -  i )  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  <-> 
( n  -  i
)  e.  B ) )
118117anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( (
i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <->  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) ) )
11987, 118sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( NN0  i^i  (
0..^ N ) ) )  ->  ( (
i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <->  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) ) )
120119rabbidva 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  { n  e.  ( NN0  i^i  (
0..^ N ) )  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i )  e.  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) }  =  {
n  e.  ( NN0 
i^i  ( 0..^ N ) )  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  B ) } )
121 inrab2 3616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { n  e.  NN0  | 
( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) }  i^i  ( 0..^ N ) )  =  {
n  e.  ( NN0 
i^i  ( 0..^ N ) )  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) }
122 inrab2 3616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { n  e.  NN0  | 
( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) )  =  { n  e.  ( NN0  i^i  ( 0..^ N ) )  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  B ) }
123120, 121, 1223eqtr4g 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) }  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )
124123oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( Q `  i )  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( { n  e.  NN0  | 
( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( ( ( Q `
 i )  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
125124ineq1d 3543 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( ( Q `  i
)  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( ( Q `  i )  i^i  (
0..^ N ) ) sadd  ( { n  e. 
NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
12678, 85, 1253eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( Q `
 ( i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( ( Q `  i )  i^i  (
0..^ N ) ) sadd  ( { n  e. 
NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
12775, 126eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( P `  ( i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  (
i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  <->  ( (
( ( P `  i )  i^i  (
0..^ N ) ) sadd  ( { n  e. 
NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( ( Q `  i )  i^i  (
0..^ N ) ) sadd  ( { n  e. 
NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
12859, 127syl5ibr 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( P `  i )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  i
)  i^i  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( P `  ( i  +  1 ) )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( Q `
 ( i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
129128expcom 426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ph  ->  ( ( ( P `
 i )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  i )  i^i  ( 0..^ N ) )  ->  (
( P `  (
i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  ( i  +  1 ) )  i^i  (
0..^ N ) ) ) ) )
130129a2d 25 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( ph  ->  ( ( P `
 i )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  i )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  -> 
( ph  ->  ( ( P `  ( i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  (
i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
13131, 37, 43, 49, 57, 130fzind2 11203 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ph  ->  ( ( P `
 N )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  N )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
13225, 131mpcom 35 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( P `  N )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( Q `
 N )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
133132adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( P `
 N )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  N )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
134133eleq2d 2505 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  e.  ( ( P `  N )  i^i  (
0..^ N ) )  <-> 
k  e.  ( ( Q `  N )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
135 elin 3532 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( P `
 N )  i^i  ( 0..^ N ) )  <->  ( k  e.  ( P `  N
)  /\  k  e.  ( 0..^ N ) ) )
136135rbaib 875 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  ( k  e.  ( ( P `  N )  i^i  (
0..^ N ) )  <-> 
k  e.  ( P `
 N ) ) )
137136adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  e.  ( ( P `  N )  i^i  (
0..^ N ) )  <-> 
k  e.  ( P `
 N ) ) )
138 elin 3532 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( Q `
 N )  i^i  ( 0..^ N ) )  <->  ( k  e.  ( Q `  N
)  /\  k  e.  ( 0..^ N ) ) )
139138rbaib 875 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  ( k  e.  ( ( Q `  N )  i^i  (
0..^ N ) )  <-> 
k  e.  ( Q `
 N ) ) )
140139adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  e.  ( ( Q `  N )  i^i  (
0..^ N ) )  <-> 
k  e.  ( Q `
 N ) ) )
141134, 137, 1403bitr3d 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  e.  ( P `  N
)  <->  k  e.  ( Q `  N ) ) )
14252adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
1432, 142, 53, 13smupval 13005 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( Q `  N )  =  ( ( A  i^i  (
0..^ N ) ) smul  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )
144143eleq2d 2505 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  e.  ( Q `  N
)  <->  k  e.  ( ( A  i^i  (
0..^ N ) ) smul  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) ) )
14522, 141, 1443bitrd 272 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  e.  ( A smul  B )  <-> 
k  e.  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
146145ex 425 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0..^ N )  -> 
( k  e.  ( A smul  B )  <->  k  e.  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) ) ) )
147146pm5.32rd 623 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A smul  B )  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  <-> 
( k  e.  ( ( A  i^i  (
0..^ N ) ) smul  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ N ) ) ) )
148 elin 3532 . . 3  |-  ( k  e.  ( ( A smul 
B )  i^i  (
0..^ N ) )  <-> 
( k  e.  ( A smul  B )  /\  k  e.  ( 0..^ N ) ) )
149 elin 3532 . . 3  |-  ( k  e.  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  <->  ( k  e.  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ N ) ) )
150147, 148, 1493bitr4g 281 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( ( A smul  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  <->  k  e.  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
151150eqrdv 2436 1  |-  ( ph  ->  ( ( A smul  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   {crab 2711    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ifcif 3741   ~Pcpw 3801   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    e. cmpt2 6086   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296   NNcn 10005   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048  ..^cfzo 11140    seq cseq 11328   sadd csad 12937   smul csmu 12938
This theorem is referenced by:  smueq  13008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-xor 1315  df-tru 1329  df-had 1390  df-cad 1391  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-disj 4186  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485  df-dvds 12858  df-bits 12939  df-sad 12968  df-smu 12993
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