Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smupf Structured version   Unicode version

Theorem smupf 12982
 Description: The sequence of partial sums of the sequence multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smuval.a
smuval.b
Assertion
Ref Expression
smupf
Distinct variable groups:   ,,,   ,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)

Proof of Theorem smupf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 10228 . . . . 5
2 iftrue 3737 . . . . . 6
3 eqid 2435 . . . . . 6
4 0ex 4331 . . . . . 6
52, 3, 4fvmpt 5798 . . . . 5
61, 5mp1i 12 . . . 4
7 0elpw 4361 . . . 4
86, 7syl6eqel 2523 . . 3
9 df-ov 6076 . . . . 5 sadd sadd
10 elpwi 3799 . . . . . . . . . . 11
1110adantr 452 . . . . . . . . . 10
12 ssrab2 3420 . . . . . . . . . 10
13 sadcl 12966 . . . . . . . . . 10 sadd
1411, 12, 13sylancl 644 . . . . . . . . 9 sadd
15 nn0ex 10219 . . . . . . . . . 10
1615elpw2 4356 . . . . . . . . 9 sadd sadd
1714, 16sylibr 204 . . . . . . . 8 sadd
1817rgen2 2794 . . . . . . 7 sadd
19 eqid 2435 . . . . . . . 8 sadd sadd
2019fmpt2 6410 . . . . . . 7 sadd sadd
2118, 20mpbi 200 . . . . . 6 sadd
2221, 7f0cli 5872 . . . . 5 sadd
239, 22eqeltri 2505 . . . 4 sadd
2423a1i 11 . . 3 sadd
25 nn0uz 10512 . . 3
26 0z 10285 . . . 4
2726a1i 11 . . 3
28 fvex 5734 . . . 4
2928a1i 11 . . 3
308, 24, 25, 27, 29seqf2 11334 . 2 sadd
31 smuval.p . . 3 sadd
3231feq1i 5577 . 2 sadd
3330, 32sylibr 204 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  crab 2701  cvv 2948   wss 3312  c0 3620  cif 3731  cpw 3791  cop 3809   cmpt 4258   cxp 4868  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985   cmin 9283  cn0 10213  cz 10274  cuz 10480   cseq 11315   sadd csad 12924 This theorem is referenced by:  smupp1  12984  smuval2  12986  smupvallem  12987  smueqlem  12994 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-xor 1314  df-tru 1328  df-had 1389  df-cad 1390  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-seq 11316  df-sad 12955
 Copyright terms: Public domain W3C validator