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Theorem smupp1 12920
Description: The initial element of the partial sum sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smuval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
smuval.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
smuval.p  |-  P  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
smuval.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
smupp1  |-  ( ph  ->  ( P `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( P `  N ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } ) )
Distinct variable groups:    m, n, p, A    n, N    ph, n    B, m, n, p
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    P( m, n, p)    N( m, p)

Proof of Theorem smupp1
Dummy variables  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smuval.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2 nn0uz 10453 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
31, 2syl6eleq 2478 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
4 seqp1 11266 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
6 smuval.p . . . 4  |-  P  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
76fveq1i 5670 . . 3  |-  ( P `
 ( N  + 
1 ) )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  ( N  +  1 ) )
86fveq1i 5670 . . . 4  |-  ( P `
 N )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  N )
98oveq1i 6031 . . 3  |-  ( ( P `  N ) ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) `  ( N  +  1 ) ) )
105, 7, 93eqtr4g 2445 . 2  |-  ( ph  ->  ( P `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( P `  N ) ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) ) ) )
11 1nn0 10170 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
1211a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
131, 12nn0addcld 10211 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
14 eqeq1 2394 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
n  =  0  <->  ( N  +  1 )  =  0 ) )
15 oveq1 6028 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
n  -  1 )  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
1614, 15ifbieq2d 3703 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) )  =  if ( ( N  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) )
17 eqid 2388 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) )
18 0ex 4281 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
19 ovex 6046 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  -  1 )  e. 
_V
2018, 19ifex 3741 . . . . . 6  |-  if ( ( N  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  e. 
_V
2116, 17, 20fvmpt 5746 . . . . 5  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  if ( ( N  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )
2213, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) `  ( N  +  1
) )  =  if ( ( N  + 
1 )  =  0 ,  (/) ,  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )
23 nn0p1nn 10192 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
241, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
2524nnne0d 9977 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
26 ifnefalse 3691 . . . . 5  |-  ( ( N  +  1 )  =/=  0  ->  if ( ( N  + 
1 )  =  0 ,  (/) ,  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
2725, 26syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( ( N  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )
281nn0cnd 10209 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
2912nn0cnd 10209 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
3028, 29pncand 9345 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
3122, 27, 303eqtrd 2424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) `  ( N  +  1
) )  =  N )
3231oveq2d 6037 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P `  N ) ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( P `  N ) ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) N ) )
33 smuval.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
34 smuval.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
3533, 34, 6smupf 12918 . . . 4  |-  ( ph  ->  P : NN0 --> ~P NN0 )
3635, 1ffvelrnd 5811 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  e.  ~P NN0 )
37 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  x  =  ( P `
 N ) )
38 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  y  =  N )
3938eleq1d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  ( y  e.  A  <->  N  e.  A ) )
4038oveq2d 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  ( k  -  y
)  =  ( k  -  N ) )
4140eleq1d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  ( ( k  -  y )  e.  B  <->  ( k  -  N )  e.  B ) )
4239, 41anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  ( ( y  e.  A  /\  ( k  -  y )  e.  B )  <->  ( N  e.  A  /\  (
k  -  N )  e.  B ) ) )
4342rabbidv 2892 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  { k  e.  NN0  |  ( y  e.  A  /\  ( k  -  y
)  e.  B ) }  =  { k  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( k  -  N
)  e.  B ) } )
44 oveq1 6028 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
k  -  N )  =  ( n  -  N ) )
4544eleq1d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  -  N
)  e.  B  <->  ( n  -  N )  e.  B
) )
4645anbi2d 685 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( N  e.  A  /\  ( k  -  N
)  e.  B )  <-> 
( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) ) )
4746cbvrabv 2899 . . . . . 6  |-  { k  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( k  -  N
)  e.  B ) }  =  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  (
n  -  N )  e.  B ) }
4843, 47syl6eq 2436 . . . . 5  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  { k  e.  NN0  |  ( y  e.  A  /\  ( k  -  y
)  e.  B ) }  =  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  (
n  -  N )  e.  B ) } )
4937, 48oveq12d 6039 . . . 4  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  ( x sadd  { k  e.  NN0  |  (
y  e.  A  /\  ( k  -  y
)  e.  B ) } )  =  ( ( P `  N
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } ) )
50 oveq1 6028 . . . . 5  |-  ( p  =  x  ->  (
p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } )  =  ( x sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) )
51 eleq1 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  y  ->  (
m  e.  A  <->  y  e.  A ) )
52 oveq2 6029 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  y  ->  (
n  -  m )  =  ( n  -  y ) )
5352eleq1d 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  y  ->  (
( n  -  m
)  e.  B  <->  ( n  -  y )  e.  B ) )
5451, 53anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  y  ->  (
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B )  <-> 
( y  e.  A  /\  ( n  -  y
)  e.  B ) ) )
5554rabbidv 2892 . . . . . . 7  |-  ( m  =  y  ->  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) }  =  { n  e. 
NN0  |  ( y  e.  A  /\  (
n  -  y )  e.  B ) } )
56 oveq1 6028 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
k  -  y )  =  ( n  -  y ) )
5756eleq1d 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  -  y
)  e.  B  <->  ( n  -  y )  e.  B ) )
5857anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( y  e.  A  /\  ( k  -  y
)  e.  B )  <-> 
( y  e.  A  /\  ( n  -  y
)  e.  B ) ) )
5958cbvrabv 2899 . . . . . . 7  |-  { k  e.  NN0  |  (
y  e.  A  /\  ( k  -  y
)  e.  B ) }  =  { n  e.  NN0  |  ( y  e.  A  /\  (
n  -  y )  e.  B ) }
6055, 59syl6eqr 2438 . . . . . 6  |-  ( m  =  y  ->  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) }  =  { k  e. 
NN0  |  ( y  e.  A  /\  (
k  -  y )  e.  B ) } )
6160oveq2d 6037 . . . . 5  |-  ( m  =  y  ->  (
x sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } )  =  ( x sadd  { k  e. 
NN0  |  ( y  e.  A  /\  (
k  -  y )  e.  B ) } ) )
6250, 61cbvmpt2v 6092 . . . 4  |-  ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) )  =  ( x  e.  ~P NN0 ,  y  e.  NN0  |->  ( x sadd  { k  e. 
NN0  |  ( y  e.  A  /\  (
k  -  y )  e.  B ) } ) )
63 ovex 6046 . . . 4  |-  ( ( P `  N ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } )  e.  _V
6449, 62, 63ovmpt2a 6144 . . 3  |-  ( ( ( P `  N
)  e.  ~P NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( P `  N ) ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) N )  =  ( ( P `  N ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } ) )
6536, 1, 64syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P `  N ) ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) N )  =  ( ( P `  N ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } ) )
6610, 32, 653eqtrd 2424 1  |-  ( ph  ->  ( P `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( P `  N ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   {crab 2654    C_ wss 3264   (/)c0 3572   ifcif 3683   ~Pcpw 3743    e. cmpt 4208   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    e. cmpt2 6023   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927    - cmin 9224   NNcn 9933   NN0cn0 10154   ZZ>=cuz 10421    seq cseq 11251   sadd csad 12860
This theorem is referenced by:  smuval2  12922  smupvallem  12923  smu01lem  12925  smupval  12928  smup1  12929  smueqlem  12930
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-xor 1311  df-tru 1325  df-had 1386  df-cad 1387  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-fz 10977  df-seq 11252  df-sad 12891
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