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Theorem smupp1 12671
Description: The initial element of the partial sum sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smuval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
smuval.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
smuval.p  |-  P  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
smuval.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
smupp1  |-  ( ph  ->  ( P `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( P `  N ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } ) )
Distinct variable groups:    m, n, p, A    n, N    ph, n    B, m, n, p
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    P( m, n, p)    N( m, p)

Proof of Theorem smupp1
Dummy variables  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smuval.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2 nn0uz 10262 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
31, 2syl6eleq 2373 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
4 seqp1 11061 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
53, 4syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
6 smuval.p . . . 4  |-  P  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
76fveq1i 5526 . . 3  |-  ( P `
 ( N  + 
1 ) )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  ( N  +  1 ) )
86fveq1i 5526 . . . 4  |-  ( P `
 N )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  N )
98oveq1i 5868 . . 3  |-  ( ( P `  N ) ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) `  ( N  +  1 ) ) )
105, 7, 93eqtr4g 2340 . 2  |-  ( ph  ->  ( P `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( P `  N ) ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) ) ) )
11 1nn0 9981 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
1211a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
131, 12nn0addcld 10022 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
14 eqeq1 2289 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
n  =  0  <->  ( N  +  1 )  =  0 ) )
15 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
n  -  1 )  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
1614, 15ifbieq2d 3585 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) )  =  if ( ( N  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) )
17 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) )
18 0ex 4150 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
19 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  -  1 )  e. 
_V
2018, 19ifex 3623 . . . . . 6  |-  if ( ( N  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  e. 
_V
2116, 17, 20fvmpt 5602 . . . . 5  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  if ( ( N  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )
2213, 21syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) `  ( N  +  1
) )  =  if ( ( N  + 
1 )  =  0 ,  (/) ,  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )
23 nn0p1nn 10003 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
241, 23syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
2524nnne0d 9790 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
26 ifnefalse 3573 . . . . 5  |-  ( ( N  +  1 )  =/=  0  ->  if ( ( N  + 
1 )  =  0 ,  (/) ,  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
2725, 26syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( ( N  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )
281nn0cnd 10020 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
2912nn0cnd 10020 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
3028, 29pncand 9158 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
3122, 27, 303eqtrd 2319 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) `  ( N  +  1
) )  =  N )
3231oveq2d 5874 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P `  N ) ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( P `  N ) ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) N ) )
33 smuval.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
34 smuval.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
3533, 34, 6smupf 12669 . . . 4  |-  ( ph  ->  P : NN0 --> ~P NN0 )
36 ffvelrn 5663 . . . 4  |-  ( ( P : NN0 --> ~P NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( P `  N
)  e.  ~P NN0 )
3735, 1, 36syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  e.  ~P NN0 )
38 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  x  =  ( P `
 N ) )
39 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  y  =  N )
4039eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  ( y  e.  A  <->  N  e.  A ) )
4139oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  ( k  -  y
)  =  ( k  -  N ) )
4241eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  ( ( k  -  y )  e.  B  <->  ( k  -  N )  e.  B ) )
4340, 42anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  ( ( y  e.  A  /\  ( k  -  y )  e.  B )  <->  ( N  e.  A  /\  (
k  -  N )  e.  B ) ) )
4443rabbidv 2780 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  { k  e.  NN0  |  ( y  e.  A  /\  ( k  -  y
)  e.  B ) }  =  { k  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( k  -  N
)  e.  B ) } )
45 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
k  -  N )  =  ( n  -  N ) )
4645eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  -  N
)  e.  B  <->  ( n  -  N )  e.  B
) )
4746anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( N  e.  A  /\  ( k  -  N
)  e.  B )  <-> 
( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) ) )
4847cbvrabv 2787 . . . . . 6  |-  { k  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( k  -  N
)  e.  B ) }  =  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  (
n  -  N )  e.  B ) }
4944, 48syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  { k  e.  NN0  |  ( y  e.  A  /\  ( k  -  y
)  e.  B ) }  =  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  (
n  -  N )  e.  B ) } )
5038, 49oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  ( x sadd  { k  e.  NN0  |  (
y  e.  A  /\  ( k  -  y
)  e.  B ) } )  =  ( ( P `  N
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } ) )
51 oveq1 5865 . . . . 5  |-  ( p  =  x  ->  (
p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } )  =  ( x sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) )
52 eleq1 2343 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  y  ->  (
m  e.  A  <->  y  e.  A ) )
53 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  y  ->  (
n  -  m )  =  ( n  -  y ) )
5453eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  y  ->  (
( n  -  m
)  e.  B  <->  ( n  -  y )  e.  B ) )
5552, 54anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  y  ->  (
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B )  <-> 
( y  e.  A  /\  ( n  -  y
)  e.  B ) ) )
5655rabbidv 2780 . . . . . . 7  |-  ( m  =  y  ->  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) }  =  { n  e. 
NN0  |  ( y  e.  A  /\  (
n  -  y )  e.  B ) } )
57 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
k  -  y )  =  ( n  -  y ) )
5857eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  -  y
)  e.  B  <->  ( n  -  y )  e.  B ) )
5958anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( y  e.  A  /\  ( k  -  y
)  e.  B )  <-> 
( y  e.  A  /\  ( n  -  y
)  e.  B ) ) )
6059cbvrabv 2787 . . . . . . 7  |-  { k  e.  NN0  |  (
y  e.  A  /\  ( k  -  y
)  e.  B ) }  =  { n  e.  NN0  |  ( y  e.  A  /\  (
n  -  y )  e.  B ) }
6156, 60syl6eqr 2333 . . . . . 6  |-  ( m  =  y  ->  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) }  =  { k  e. 
NN0  |  ( y  e.  A  /\  (
k  -  y )  e.  B ) } )
6261oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( m  =  y  ->  (
x sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } )  =  ( x sadd  { k  e. 
NN0  |  ( y  e.  A  /\  (
k  -  y )  e.  B ) } ) )
6351, 62cbvmpt2v 5926 . . . 4  |-  ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) )  =  ( x  e.  ~P NN0 ,  y  e.  NN0  |->  ( x sadd  { k  e. 
NN0  |  ( y  e.  A  /\  (
k  -  y )  e.  B ) } ) )
64 ovex 5883 . . . 4  |-  ( ( P `  N ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } )  e.  _V
6550, 63, 64ovmpt2a 5978 . . 3  |-  ( ( ( P `  N
)  e.  ~P NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( P `  N ) ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) N )  =  ( ( P `  N ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } ) )
6637, 1, 65syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P `  N ) ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) N )  =  ( ( P `  N ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } ) )
6710, 32, 663eqtrd 2319 1  |-  ( ph  ->  ( P `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( P `  N ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   {crab 2547    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   ~Pcpw 3625    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    - cmin 9037   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZ>=cuz 10230    seq cseq 11046   sadd csad 12611
This theorem is referenced by:  smuval2  12673  smupvallem  12674  smu01lem  12676  smupval  12679  smup1  12680  smueqlem  12681
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-xor 1296  df-tru 1310  df-had 1370  df-cad 1371  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-seq 11047  df-sad 12642
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