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Theorem smupp1 12984
Description: The initial element of the partial sum sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smuval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
smuval.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
smuval.p  |-  P  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
smuval.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
smupp1  |-  ( ph  ->  ( P `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( P `  N ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } ) )
Distinct variable groups:    m, n, p, A    n, N    ph, n    B, m, n, p
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    P( m, n, p)    N( m, p)

Proof of Theorem smupp1
Dummy variables  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smuval.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2 nn0uz 10512 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
31, 2syl6eleq 2525 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
4 seqp1 11330 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
6 smuval.p . . . 4  |-  P  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
76fveq1i 5721 . . 3  |-  ( P `
 ( N  + 
1 ) )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  ( N  +  1 ) )
86fveq1i 5721 . . . 4  |-  ( P `
 N )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  N )
98oveq1i 6083 . . 3  |-  ( ( P `  N ) ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) `  ( N  +  1 ) ) )
105, 7, 93eqtr4g 2492 . 2  |-  ( ph  ->  ( P `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( P `  N ) ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) ) ) )
11 1nn0 10229 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
1211a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
131, 12nn0addcld 10270 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
14 eqeq1 2441 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
n  =  0  <->  ( N  +  1 )  =  0 ) )
15 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
n  -  1 )  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
1614, 15ifbieq2d 3751 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) )  =  if ( ( N  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) )
17 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) )
18 0ex 4331 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
19 ovex 6098 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  -  1 )  e. 
_V
2018, 19ifex 3789 . . . . . 6  |-  if ( ( N  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  e. 
_V
2116, 17, 20fvmpt 5798 . . . . 5  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  if ( ( N  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )
2213, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) `  ( N  +  1
) )  =  if ( ( N  + 
1 )  =  0 ,  (/) ,  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )
23 nn0p1nn 10251 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
241, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
2524nnne0d 10036 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
26 ifnefalse 3739 . . . . 5  |-  ( ( N  +  1 )  =/=  0  ->  if ( ( N  + 
1 )  =  0 ,  (/) ,  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
2725, 26syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( ( N  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )
281nn0cnd 10268 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
2912nn0cnd 10268 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
3028, 29pncand 9404 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
3122, 27, 303eqtrd 2471 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) `  ( N  +  1
) )  =  N )
3231oveq2d 6089 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P `  N ) ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( P `  N ) ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) N ) )
33 smuval.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
34 smuval.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
3533, 34, 6smupf 12982 . . . 4  |-  ( ph  ->  P : NN0 --> ~P NN0 )
3635, 1ffvelrnd 5863 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  e.  ~P NN0 )
37 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  x  =  ( P `
 N ) )
38 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  y  =  N )
3938eleq1d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  ( y  e.  A  <->  N  e.  A ) )
4038oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  ( k  -  y
)  =  ( k  -  N ) )
4140eleq1d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  ( ( k  -  y )  e.  B  <->  ( k  -  N )  e.  B ) )
4239, 41anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  ( ( y  e.  A  /\  ( k  -  y )  e.  B )  <->  ( N  e.  A  /\  (
k  -  N )  e.  B ) ) )
4342rabbidv 2940 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  { k  e.  NN0  |  ( y  e.  A  /\  ( k  -  y
)  e.  B ) }  =  { k  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( k  -  N
)  e.  B ) } )
44 oveq1 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
k  -  N )  =  ( n  -  N ) )
4544eleq1d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  -  N
)  e.  B  <->  ( n  -  N )  e.  B
) )
4645anbi2d 685 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( N  e.  A  /\  ( k  -  N
)  e.  B )  <-> 
( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) ) )
4746cbvrabv 2947 . . . . . 6  |-  { k  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( k  -  N
)  e.  B ) }  =  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  (
n  -  N )  e.  B ) }
4843, 47syl6eq 2483 . . . . 5  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  { k  e.  NN0  |  ( y  e.  A  /\  ( k  -  y
)  e.  B ) }  =  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  (
n  -  N )  e.  B ) } )
4937, 48oveq12d 6091 . . . 4  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  ( x sadd  { k  e.  NN0  |  (
y  e.  A  /\  ( k  -  y
)  e.  B ) } )  =  ( ( P `  N
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } ) )
50 oveq1 6080 . . . . 5  |-  ( p  =  x  ->  (
p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } )  =  ( x sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) )
51 eleq1 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  y  ->  (
m  e.  A  <->  y  e.  A ) )
52 oveq2 6081 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  y  ->  (
n  -  m )  =  ( n  -  y ) )
5352eleq1d 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  y  ->  (
( n  -  m
)  e.  B  <->  ( n  -  y )  e.  B ) )
5451, 53anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  y  ->  (
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B )  <-> 
( y  e.  A  /\  ( n  -  y
)  e.  B ) ) )
5554rabbidv 2940 . . . . . . 7  |-  ( m  =  y  ->  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) }  =  { n  e. 
NN0  |  ( y  e.  A  /\  (
n  -  y )  e.  B ) } )
56 oveq1 6080 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
k  -  y )  =  ( n  -  y ) )
5756eleq1d 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  -  y
)  e.  B  <->  ( n  -  y )  e.  B ) )
5857anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( y  e.  A  /\  ( k  -  y
)  e.  B )  <-> 
( y  e.  A  /\  ( n  -  y
)  e.  B ) ) )
5958cbvrabv 2947 . . . . . . 7  |-  { k  e.  NN0  |  (
y  e.  A  /\  ( k  -  y
)  e.  B ) }  =  { n  e.  NN0  |  ( y  e.  A  /\  (
n  -  y )  e.  B ) }
6055, 59syl6eqr 2485 . . . . . 6  |-  ( m  =  y  ->  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) }  =  { k  e. 
NN0  |  ( y  e.  A  /\  (
k  -  y )  e.  B ) } )
6160oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( m  =  y  ->  (
x sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } )  =  ( x sadd  { k  e. 
NN0  |  ( y  e.  A  /\  (
k  -  y )  e.  B ) } ) )
6250, 61cbvmpt2v 6144 . . . 4  |-  ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) )  =  ( x  e.  ~P NN0 ,  y  e.  NN0  |->  ( x sadd  { k  e. 
NN0  |  ( y  e.  A  /\  (
k  -  y )  e.  B ) } ) )
63 ovex 6098 . . . 4  |-  ( ( P `  N ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } )  e.  _V
6449, 62, 63ovmpt2a 6196 . . 3  |-  ( ( ( P `  N
)  e.  ~P NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( P `  N ) ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) N )  =  ( ( P `  N ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } ) )
6536, 1, 64syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P `  N ) ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) N )  =  ( ( P `  N ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } ) )
6610, 32, 653eqtrd 2471 1  |-  ( ph  ->  ( P `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( P `  N ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   {crab 2701    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ifcif 3731   ~Pcpw 3791    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    - cmin 9283   NNcn 9992   NN0cn0 10213   ZZ>=cuz 10480    seq cseq 11315   sadd csad 12924
This theorem is referenced by:  smuval2  12986  smupvallem  12987  smu01lem  12989  smupval  12992  smup1  12993  smueqlem  12994
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-xor 1314  df-tru 1328  df-had 1389  df-cad 1390  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-seq 11316  df-sad 12955
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