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Theorem smupval 12920
Description: Rewrite the elements of the partial sum sequence in terms of sequence multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smupval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
smupval.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
smupval.p  |-  P  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
smupval.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
smupval  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  =  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul  B
) )
Distinct variable groups:    m, n, p, A    B, m, n, p    m, N, n, p    ph, n
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    P( m, n, p)

Proof of Theorem smupval
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smupval.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2 nn0uz 10445 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
31, 2syl6eleq 2470 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
4 eluzfz2b 10991 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  N  e.  (
0 ... N ) )
53, 4sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... N ) )
6 fveq2 5661 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( P `  x )  =  ( P ` 
0 ) )
7 fveq2 5661 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  0
) )
86, 7eqeq12d 2394 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( P `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  <->  ( P ` 
0 )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  0
) ) )
98imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 x ) )  <-> 
( ph  ->  ( P `
 0 )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 0 ) ) ) )
10 fveq2 5661 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  ( P `  x )  =  ( P `  k ) )
11 fveq2 5661 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
) )
1210, 11eqeq12d 2394 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  (
( P `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  <->  ( P `  k )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
) ) )
1312imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  k  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 x ) )  <-> 
( ph  ->  ( P `
 k )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) ) ) )
14 fveq2 5661 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( P `  x )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
15 fveq2 5661 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) )
1614, 15eqeq12d 2394 . . . . 5  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( P `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  <->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) ) )
1716imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 x ) )  <-> 
( ph  ->  ( P `
 ( k  +  1 ) )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
18 fveq2 5661 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  ( P `  x )  =  ( P `  N ) )
19 fveq2 5661 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) )
2018, 19eqeq12d 2394 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( P `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  <->  ( P `  N )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) ) )
2120imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 x ) )  <-> 
( ph  ->  ( P `
 N )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 N ) ) ) )
22 smupval.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
23 smupval.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
24 smupval.p . . . . . . 7  |-  P  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
2522, 23, 24smup0 12911 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P `  0
)  =  (/) )
26 inss1 3497 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  A
2726, 22syl5ss 3295 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
28 eqid 2380 . . . . . . 7  |-  seq  0
( ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
2927, 23, 28smup0 12911 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 0 )  =  (/) )
3025, 29eqtr4d 2415 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P `  0
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  0
) )
3130a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ph  ->  ( P `  0
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  0
) ) )
32 oveq1 6020 . . . . . . 7  |-  ( ( P `  k )  =  (  seq  0
( ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
)  ->  ( ( P `  k ) sadd  { n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } )  =  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) sadd  {
n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) )
3322adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  A  C_  NN0 )
3423adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  B  C_  NN0 )
35 elfzouz 11067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
3635adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
3736, 2syl6eleqr 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  k  e.  NN0 )
3833, 34, 24, 37smupp1 12912 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( P `  k
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) )
3927adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
4039, 34, 28, 37smupp1 12912 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  (  seq  0
( ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) )
41 elin 3466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  <-> 
( k  e.  A  /\  k  e.  (
0..^ N ) ) )
4241rbaib 874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  ( k  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  <-> 
k  e.  A ) )
4342adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  <-> 
k  e.  A ) )
4443anbi1d 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( k  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  k )  e.  B
)  <->  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k )  e.  B ) ) )
4544rabbidv 2884 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  { n  e. 
NN0  |  ( k  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  k )  e.  B
) }  =  {
n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } )
4645oveq2d 6029 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } )  =  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) sadd  {
n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) )
4740, 46eqtrd 2412 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  (  seq  0
( ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) )
4838, 47eqeq12d 2394 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( P `
 ( k  +  1 ) )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 ( k  +  1 ) )  <->  ( ( P `  k ) sadd  { n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } )  =  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) sadd  {
n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) ) )
4932, 48syl5ibr 213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( P `
 k )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k )  -> 
( P `  (
k  +  1 ) )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) ) )
5049expcom 425 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ph  ->  ( ( P `  k )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
)  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
5150a2d 24 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( ph  ->  ( P `  k )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
) )  ->  ( ph  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
529, 13, 17, 21, 31, 51fzind2 11118 . . 3  |-  ( N  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ph  ->  ( P `  N )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) ) )
535, 52mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) )
54 inss2 3498 . . . 4  |-  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N )
5554a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  ( 0..^ N ) )
561nn0zd 10298 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
57 uzid 10425 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
5856, 57syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N ) )
5927, 23, 28, 1, 55, 58smupvallem 12915 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 N )  =  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul 
B ) )
6053, 59eqtrd 2412 1  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  =  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2646    i^i cin 3255    C_ wss 3256   (/)c0 3564   ifcif 3675   ~Pcpw 3735    e. cmpt 4200   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    e. cmpt2 6015   0cc0 8916   1c1 8917    + caddc 8919    - cmin 9216   NN0cn0 10146   ZZcz 10207   ZZ>=cuz 10413   ...cfz 10968  ..^cfzo 11058    seq cseq 11243   sadd csad 12852   smul csmu 12853
This theorem is referenced by:  smup1  12921  smueqlem  12922
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-xor 1311  df-tru 1325  df-had 1386  df-cad 1387  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-disj 4117  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-cda 7974  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-rp 10538  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-fl 11122  df-mod 11171  df-seq 11244  df-exp 11303  df-hash 11539  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-clim 12202  df-sum 12400  df-dvds 12773  df-bits 12854  df-sad 12883  df-smu 12908
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