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Theorem smupval 12992
Description: Rewrite the elements of the partial sum sequence in terms of sequence multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smupval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
smupval.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
smupval.p  |-  P  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
smupval.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
smupval  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  =  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul  B
) )
Distinct variable groups:    m, n, p, A    B, m, n, p    m, N, n, p    ph, n
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    P( m, n, p)

Proof of Theorem smupval
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smupval.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2 nn0uz 10512 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
31, 2syl6eleq 2525 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
4 eluzfz2b 11058 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  N  e.  (
0 ... N ) )
53, 4sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... N ) )
6 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( P `  x )  =  ( P ` 
0 ) )
7 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  0
) )
86, 7eqeq12d 2449 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( P `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  <->  ( P ` 
0 )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  0
) ) )
98imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 x ) )  <-> 
( ph  ->  ( P `
 0 )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 0 ) ) ) )
10 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  ( P `  x )  =  ( P `  k ) )
11 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
) )
1210, 11eqeq12d 2449 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  (
( P `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  <->  ( P `  k )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
) ) )
1312imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  k  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 x ) )  <-> 
( ph  ->  ( P `
 k )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) ) ) )
14 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( P `  x )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
15 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) )
1614, 15eqeq12d 2449 . . . . 5  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( P `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  <->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) ) )
1716imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 x ) )  <-> 
( ph  ->  ( P `
 ( k  +  1 ) )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
18 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  ( P `  x )  =  ( P `  N ) )
19 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) )
2018, 19eqeq12d 2449 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( P `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  <->  ( P `  N )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) ) )
2120imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 x ) )  <-> 
( ph  ->  ( P `
 N )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 N ) ) ) )
22 smupval.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
23 smupval.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
24 smupval.p . . . . . . 7  |-  P  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
2522, 23, 24smup0 12983 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P `  0
)  =  (/) )
26 inss1 3553 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  A
2726, 22syl5ss 3351 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
28 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  seq  0
( ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
2927, 23, 28smup0 12983 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 0 )  =  (/) )
3025, 29eqtr4d 2470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P `  0
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  0
) )
3130a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ph  ->  ( P `  0
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  0
) ) )
32 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( ( P `  k )  =  (  seq  0
( ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
)  ->  ( ( P `  k ) sadd  { n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } )  =  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) sadd  {
n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) )
3322adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  A  C_  NN0 )
3423adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  B  C_  NN0 )
35 elfzouz 11136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
3635adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
3736, 2syl6eleqr 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  k  e.  NN0 )
3833, 34, 24, 37smupp1 12984 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( P `  k
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) )
3927adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
4039, 34, 28, 37smupp1 12984 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  (  seq  0
( ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) )
41 elin 3522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  <-> 
( k  e.  A  /\  k  e.  (
0..^ N ) ) )
4241rbaib 874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  ( k  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  <-> 
k  e.  A ) )
4342adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  <-> 
k  e.  A ) )
4443anbi1d 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( k  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  k )  e.  B
)  <->  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k )  e.  B ) ) )
4544rabbidv 2940 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  { n  e. 
NN0  |  ( k  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  k )  e.  B
) }  =  {
n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } )
4645oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } )  =  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) sadd  {
n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) )
4740, 46eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  (  seq  0
( ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) )
4838, 47eqeq12d 2449 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( P `
 ( k  +  1 ) )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 ( k  +  1 ) )  <->  ( ( P `  k ) sadd  { n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } )  =  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) sadd  {
n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) ) )
4932, 48syl5ibr 213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( P `
 k )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k )  -> 
( P `  (
k  +  1 ) )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) ) )
5049expcom 425 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ph  ->  ( ( P `  k )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
)  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
5150a2d 24 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( ph  ->  ( P `  k )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
) )  ->  ( ph  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
529, 13, 17, 21, 31, 51fzind2 11190 . . 3  |-  ( N  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ph  ->  ( P `  N )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) ) )
535, 52mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) )
54 inss2 3554 . . . 4  |-  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N )
5554a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  ( 0..^ N ) )
561nn0zd 10365 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
57 uzid 10492 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
5856, 57syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N ) )
5927, 23, 28, 1, 55, 58smupvallem 12987 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 N )  =  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul 
B ) )
6053, 59eqtrd 2467 1  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  =  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ifcif 3731   ~Pcpw 3791    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    - cmin 9283   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   ...cfz 11035  ..^cfzo 11127    seq cseq 11315   sadd csad 12924   smul csmu 12925
This theorem is referenced by:  smup1  12993  smueqlem  12994
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-xor 1314  df-tru 1328  df-had 1389  df-cad 1390  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-dvds 12845  df-bits 12926  df-sad 12955  df-smu 12980
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