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Theorem smupval 12695
Description: Rewrite the elements of the partial sum sequence in terms of sequence multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smupval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
smupval.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
smupval.p  |-  P  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
smupval.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
smupval  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  =  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul  B
) )
Distinct variable groups:    m, n, p, A    B, m, n, p    m, N, n, p    ph, n
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    P( m, n, p)

Proof of Theorem smupval
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smupval.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2 nn0uz 10278 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
31, 2syl6eleq 2386 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
4 eluzfz2b 10821 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  N  e.  (
0 ... N ) )
53, 4sylib 188 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... N ) )
6 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( P `  x )  =  ( P ` 
0 ) )
7 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  0
) )
86, 7eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( P `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  <->  ( P ` 
0 )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  0
) ) )
98imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 x ) )  <-> 
( ph  ->  ( P `
 0 )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 0 ) ) ) )
10 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  ( P `  x )  =  ( P `  k ) )
11 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
) )
1210, 11eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  (
( P `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  <->  ( P `  k )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
) ) )
1312imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  k  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 x ) )  <-> 
( ph  ->  ( P `
 k )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) ) ) )
14 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( P `  x )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
15 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) )
1614, 15eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( P `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  <->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) ) )
1716imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 x ) )  <-> 
( ph  ->  ( P `
 ( k  +  1 ) )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
18 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  ( P `  x )  =  ( P `  N ) )
19 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) )
2018, 19eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( P `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  <->  ( P `  N )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) ) )
2120imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 x ) )  <-> 
( ph  ->  ( P `
 N )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 N ) ) ) )
22 smupval.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
23 smupval.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
24 smupval.p . . . . . . 7  |-  P  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
2522, 23, 24smup0 12686 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P `  0
)  =  (/) )
26 inss1 3402 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  A
2726, 22syl5ss 3203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
28 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  seq  0
( ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
2927, 23, 28smup0 12686 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 0 )  =  (/) )
3025, 29eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P `  0
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  0
) )
3130a1i 10 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ph  ->  ( P `  0
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  0
) ) )
32 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( ( P `  k )  =  (  seq  0
( ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
)  ->  ( ( P `  k ) sadd  { n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } )  =  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) sadd  {
n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) )
3322adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  A  C_  NN0 )
3423adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  B  C_  NN0 )
35 elfzouz 10895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
3635adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
3736, 2syl6eleqr 2387 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  k  e.  NN0 )
3833, 34, 24, 37smupp1 12687 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( P `  k
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) )
3927adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
4039, 34, 28, 37smupp1 12687 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  (  seq  0
( ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) )
41 elin 3371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  <-> 
( k  e.  A  /\  k  e.  (
0..^ N ) ) )
4241rbaib 873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  ( k  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  <-> 
k  e.  A ) )
4342adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  <-> 
k  e.  A ) )
4443anbi1d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( k  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  k )  e.  B
)  <->  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k )  e.  B ) ) )
4544rabbidv 2793 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  { n  e. 
NN0  |  ( k  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  k )  e.  B
) }  =  {
n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } )
4645oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } )  =  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) sadd  {
n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) )
4740, 46eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  (  seq  0
( ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) )
4838, 47eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( P `
 ( k  +  1 ) )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 ( k  +  1 ) )  <->  ( ( P `  k ) sadd  { n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } )  =  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) sadd  {
n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) ) )
4932, 48syl5ibr 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( P `
 k )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k )  -> 
( P `  (
k  +  1 ) )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) ) )
5049expcom 424 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ph  ->  ( ( P `  k )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
)  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
5150a2d 23 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( ph  ->  ( P `  k )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
) )  ->  ( ph  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
529, 13, 17, 21, 31, 51fzind2 10939 . . 3  |-  ( N  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ph  ->  ( P `  N )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) ) )
535, 52mpcom 32 . 2  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) )
54 inss2 3403 . . . 4  |-  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N )
5554a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  ( 0..^ N ) )
561nn0zd 10131 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
57 uzid 10258 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
5856, 57syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N ) )
5927, 23, 28, 1, 55, 58smupvallem 12690 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 N )  =  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul 
B ) )
6053, 59eqtrd 2328 1  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  =  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ifcif 3578   ~Pcpw 3638    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    - cmin 9053   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798  ..^cfzo 10886    seq cseq 11062   sadd csad 12627   smul csmu 12628
This theorem is referenced by:  smup1  12696  smueqlem  12697
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-xor 1296  df-tru 1310  df-had 1370  df-cad 1371  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-dvds 12548  df-bits 12629  df-sad 12658  df-smu 12683
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