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Theorem smupvallem 12690
Description: If  A only has elements less than  N, then all elements of the partial sum sequence past  N already equal the final value. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smuval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
smuval.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
smuval.p  |-  P  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
smuval.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
smupvallem.a  |-  ( ph  ->  A  C_  ( 0..^ N ) )
smupvallem.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )
Assertion
Ref Expression
smupvallem  |-  ( ph  ->  ( P `  M
)  =  ( A smul 
B ) )
Distinct variable groups:    m, n, p, A    n, N    ph, n    B, m, n, p
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    P( m, n, p)    M( m, n, p)    N( m, p)

Proof of Theorem smupvallem
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smuval.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
2 smuval.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
3 smuval.p . . . . . . 7  |-  P  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
41, 2, 3smupf 12685 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P : NN0 --> ~P NN0 )
5 smuval.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
6 smupvallem.m . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )
7 eluznn0 10304 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  NN0 )
85, 6, 7syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
9 ffvelrn 5679 . . . . . 6  |-  ( ( P : NN0 --> ~P NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( P `  M
)  e.  ~P NN0 )
104, 8, 9syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P `  M
)  e.  ~P NN0 )
11 elpwi 3646 . . . . 5  |-  ( ( P `  M )  e.  ~P NN0  ->  ( P `  M ) 
C_  NN0 )
1210, 11syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P `  M
)  C_  NN0 )
1312sseld 3192 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( P `  M )  ->  k  e.  NN0 ) )
14 ssrab2 3271 . . . . 5  |-  { k  e.  NN0  |  k  e.  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  C_  NN0
151, 2, 3smufval 12684 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A smul  B )  =  { k  e. 
NN0  |  k  e.  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )
1615sseq1d 3218 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A smul  B
)  C_  NN0  <->  { k  e.  NN0  |  k  e.  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  C_  NN0 )
)
1714, 16mpbiri 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A smul  B ) 
C_  NN0 )
1817sseld 3192 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A smul  B )  -> 
k  e.  NN0 )
)
191ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  A  C_  NN0 )
202ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  B  C_  NN0 )
21 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
226adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)
23 uztrn 10260 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )
2422, 23sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )
2519, 20, 3, 21, 24smuval2 12689 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  e.  ( A smul  B )  <-> 
k  e.  ( P `
 M ) ) )
2625bicomd 192 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  e.  ( P `  M
)  <->  k  e.  ( A smul  B ) ) )
276ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)
28 simpll 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  ph )
29 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  N  ->  ( P `  x )  =  ( P `  N ) )
3029eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  N  ->  (
( P `  x
)  =  ( P `
 N )  <->  ( P `  N )  =  ( P `  N ) ) )
3130imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  ( P `  N
) )  <->  ( ph  ->  ( P `  N
)  =  ( P `
 N ) ) ) )
32 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  k  ->  ( P `  x )  =  ( P `  k ) )
3332eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  k  ->  (
( P `  x
)  =  ( P `
 N )  <->  ( P `  k )  =  ( P `  N ) ) )
3433imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  ( P `  N
) )  <->  ( ph  ->  ( P `  k
)  =  ( P `
 N ) ) ) )
35 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( P `  x )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
3635eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( P `  x
)  =  ( P `
 N )  <->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  N ) ) )
3736imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  ( P `  N
) )  <->  ( ph  ->  ( P `  (
k  +  1 ) )  =  ( P `
 N ) ) ) )
38 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  M  ->  ( P `  x )  =  ( P `  M ) )
3938eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  M  ->  (
( P `  x
)  =  ( P `
 N )  <->  ( P `  M )  =  ( P `  N ) ) )
4039imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  ( P `  N
) )  <->  ( ph  ->  ( P `  M
)  =  ( P `
 N ) ) ) )
41 eqidd 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  =  ( P `
 N ) )
4241a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( P `  N )  =  ( P `  N ) ) )
431adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  A  C_  NN0 )
442adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  B  C_  NN0 )
45 eluznn0 10304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
k  e.  NN0 )
465, 45sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  NN0 )
4743, 44, 3, 46smupp1 12687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( P `  k
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) )
48 eluzle 10256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  k )
4948adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  <_  k )
505nn0red 10035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
5150adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  e.  RR )
5246nn0red 10035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  RR )
5351, 52lenltd 8981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( N  <_  k  <->  -.  k  <  N ) )
5449, 53mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  -.  k  <  N )
55 smupvallem.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  A  C_  ( 0..^ N ) )
5655adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  A  C_  (
0..^ N ) )
5756sseld 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( k  e.  A  ->  k  e.  ( 0..^ N ) ) )
58 elfzolt2 10899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  k  <  N )
5957, 58syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( k  e.  A  ->  k  < 
N ) )
6059adantrd 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B )  ->  k  <  N
) )
6154, 60mtod 168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  -.  (
k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) )
6261ralrimivw 2640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  A. n  e.  NN0  -.  ( k  e.  A  /\  (
n  -  k )  e.  B ) )
63 rabeq0 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) }  =  (/)  <->  A. n  e.  NN0  -.  ( k  e.  A  /\  (
n  -  k )  e.  B ) )
6462, 63sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  (
n  -  k )  e.  B ) }  =  (/) )
6564oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( P `  k ) sadd  { n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } )  =  ( ( P `  k
) sadd  (/) ) )
664adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  P : NN0
--> ~P NN0 )
67 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P : NN0 --> ~P NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( P `  k
)  e.  ~P NN0 )
6866, 46, 67syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( P `  k )  e.  ~P NN0 )
69 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P `  k )  e.  ~P NN0  ->  ( P `  k ) 
C_  NN0 )
7068, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( P `  k )  C_  NN0 )
71 sadid1 12675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P `  k ) 
C_  NN0  ->  ( ( P `  k ) sadd  (/) )  =  ( P `  k )
)
7270, 71syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( P `  k ) sadd  (/) )  =  ( P `
 k ) )
7347, 65, 723eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  k ) )
7473eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  N )  <->  ( P `  k )  =  ( P `  N ) ) )
7574biimprd 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( P `  k )  =  ( P `  N )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  N ) ) )
7675expcom 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ph  ->  ( ( P `  k )  =  ( P `  N )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  N ) ) ) )
7776a2d 23 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ( ph  ->  ( P `  k )  =  ( P `  N ) )  ->  ( ph  ->  ( P `  (
k  +  1 ) )  =  ( P `
 N ) ) ) )
7831, 34, 37, 40, 42, 77uzind4 10292 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ph  ->  ( P `  M
)  =  ( P `
 N ) ) )
7927, 28, 78sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  ( P `  M )  =  ( P `  N ) )
80 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )
8131, 34, 37, 37, 42, 77uzind4 10292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ph  ->  ( P `  (
k  +  1 ) )  =  ( P `
 N ) ) )
8280, 28, 81sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  N ) )
8379, 82eqtr4d 2331 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  ( P `  M )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
8483eleq2d 2363 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  (
k  e.  ( P `
 M )  <->  k  e.  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
851ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  A  C_ 
NN0 )
862ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  B  C_ 
NN0 )
87 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  k  e.  NN0 )
8885, 86, 3, 87smuval 12688 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  (
k  e.  ( A smul 
B )  <->  k  e.  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
8984, 88bitr4d 247 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  (
k  e.  ( P `
 M )  <->  k  e.  ( A smul  B )
) )
90 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
9190nn0zd 10131 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  ZZ )
9291peano2zd 10136 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ )
935nn0zd 10131 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
9493adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
95 uztric 10265 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  1 ) )  \/  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )
9692, 94, 95syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) )  \/  ( k  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  N ) ) )
9726, 89, 96mpjaodan 761 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  e.  ( P `  M
)  <->  k  e.  ( A smul  B ) ) )
9897ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN0  ->  ( k  e.  ( P `  M )  <-> 
k  e.  ( A smul 
B ) ) ) )
9913, 18, 98pm5.21ndd 343 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( P `  M )  <-> 
k  e.  ( A smul 
B ) ) )
10099eqrdv 2294 1  |-  ( ph  ->  ( P `  M
)  =  ( A smul 
B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ifcif 3578   ~Pcpw 3638   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246  ..^cfzo 10886    seq cseq 11062   sadd csad 12627   smul csmu 12628
This theorem is referenced by:  smupval  12695
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-xor 1296  df-tru 1310  df-had 1370  df-cad 1371  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-dvds 12548  df-bits 12629  df-sad 12658  df-smu 12683
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