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Theorem smupvallem 12674
Description: If  A only has elements less than  N, then all elements of the partial sum sequence past  N already equal the final value. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smuval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
smuval.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
smuval.p  |-  P  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
smuval.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
smupvallem.a  |-  ( ph  ->  A  C_  ( 0..^ N ) )
smupvallem.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )
Assertion
Ref Expression
smupvallem  |-  ( ph  ->  ( P `  M
)  =  ( A smul 
B ) )
Distinct variable groups:    m, n, p, A    n, N    ph, n    B, m, n, p
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    P( m, n, p)    M( m, n, p)    N( m, p)

Proof of Theorem smupvallem
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smuval.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
2 smuval.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
3 smuval.p . . . . . . 7  |-  P  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
41, 2, 3smupf 12669 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P : NN0 --> ~P NN0 )
5 smuval.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
6 smupvallem.m . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )
7 eluznn0 10288 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  NN0 )
85, 6, 7syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
9 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( P : NN0 --> ~P NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( P `  M
)  e.  ~P NN0 )
104, 8, 9syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P `  M
)  e.  ~P NN0 )
11 elpwi 3633 . . . . 5  |-  ( ( P `  M )  e.  ~P NN0  ->  ( P `  M ) 
C_  NN0 )
1210, 11syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P `  M
)  C_  NN0 )
1312sseld 3179 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( P `  M )  ->  k  e.  NN0 ) )
14 ssrab2 3258 . . . . 5  |-  { k  e.  NN0  |  k  e.  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  C_  NN0
151, 2, 3smufval 12668 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A smul  B )  =  { k  e. 
NN0  |  k  e.  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )
1615sseq1d 3205 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A smul  B
)  C_  NN0  <->  { k  e.  NN0  |  k  e.  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  C_  NN0 )
)
1714, 16mpbiri 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A smul  B ) 
C_  NN0 )
1817sseld 3179 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A smul  B )  -> 
k  e.  NN0 )
)
191ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  A  C_  NN0 )
202ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  B  C_  NN0 )
21 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
226adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)
23 uztrn 10244 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )
2422, 23sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )
2519, 20, 3, 21, 24smuval2 12673 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  e.  ( A smul  B )  <-> 
k  e.  ( P `
 M ) ) )
2625bicomd 192 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  e.  ( P `  M
)  <->  k  e.  ( A smul  B ) ) )
276ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)
28 simpll 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  ph )
29 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  N  ->  ( P `  x )  =  ( P `  N ) )
3029eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  N  ->  (
( P `  x
)  =  ( P `
 N )  <->  ( P `  N )  =  ( P `  N ) ) )
3130imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  ( P `  N
) )  <->  ( ph  ->  ( P `  N
)  =  ( P `
 N ) ) ) )
32 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  k  ->  ( P `  x )  =  ( P `  k ) )
3332eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  k  ->  (
( P `  x
)  =  ( P `
 N )  <->  ( P `  k )  =  ( P `  N ) ) )
3433imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  ( P `  N
) )  <->  ( ph  ->  ( P `  k
)  =  ( P `
 N ) ) ) )
35 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( P `  x )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
3635eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( P `  x
)  =  ( P `
 N )  <->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  N ) ) )
3736imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  ( P `  N
) )  <->  ( ph  ->  ( P `  (
k  +  1 ) )  =  ( P `
 N ) ) ) )
38 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  M  ->  ( P `  x )  =  ( P `  M ) )
3938eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  M  ->  (
( P `  x
)  =  ( P `
 N )  <->  ( P `  M )  =  ( P `  N ) ) )
4039imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  ( P `  N
) )  <->  ( ph  ->  ( P `  M
)  =  ( P `
 N ) ) ) )
41 eqidd 2284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  =  ( P `
 N ) )
4241a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( P `  N )  =  ( P `  N ) ) )
431adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  A  C_  NN0 )
442adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  B  C_  NN0 )
45 eluznn0 10288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
k  e.  NN0 )
465, 45sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  NN0 )
4743, 44, 3, 46smupp1 12671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( P `  k
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) )
48 eluzle 10240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  k )
4948adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  <_  k )
505nn0red 10019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
5150adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  e.  RR )
5246nn0red 10019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  RR )
5351, 52lenltd 8965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( N  <_  k  <->  -.  k  <  N ) )
5449, 53mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  -.  k  <  N )
55 smupvallem.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  A  C_  ( 0..^ N ) )
5655adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  A  C_  (
0..^ N ) )
5756sseld 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( k  e.  A  ->  k  e.  ( 0..^ N ) ) )
58 elfzolt2 10883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  k  <  N )
5957, 58syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( k  e.  A  ->  k  < 
N ) )
6059adantrd 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B )  ->  k  <  N
) )
6154, 60mtod 168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  -.  (
k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) )
6261ralrimivw 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  A. n  e.  NN0  -.  ( k  e.  A  /\  (
n  -  k )  e.  B ) )
63 rabeq0 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) }  =  (/)  <->  A. n  e.  NN0  -.  ( k  e.  A  /\  (
n  -  k )  e.  B ) )
6462, 63sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  (
n  -  k )  e.  B ) }  =  (/) )
6564oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( P `  k ) sadd  { n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } )  =  ( ( P `  k
) sadd  (/) ) )
664adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  P : NN0
--> ~P NN0 )
67 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P : NN0 --> ~P NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( P `  k
)  e.  ~P NN0 )
6866, 46, 67syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( P `  k )  e.  ~P NN0 )
69 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P `  k )  e.  ~P NN0  ->  ( P `  k ) 
C_  NN0 )
7068, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( P `  k )  C_  NN0 )
71 sadid1 12659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P `  k ) 
C_  NN0  ->  ( ( P `  k ) sadd  (/) )  =  ( P `  k )
)
7270, 71syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( P `  k ) sadd  (/) )  =  ( P `
 k ) )
7347, 65, 723eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  k ) )
7473eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  N )  <->  ( P `  k )  =  ( P `  N ) ) )
7574biimprd 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( P `  k )  =  ( P `  N )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  N ) ) )
7675expcom 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ph  ->  ( ( P `  k )  =  ( P `  N )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  N ) ) ) )
7776a2d 23 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ( ph  ->  ( P `  k )  =  ( P `  N ) )  ->  ( ph  ->  ( P `  (
k  +  1 ) )  =  ( P `
 N ) ) ) )
7831, 34, 37, 40, 42, 77uzind4 10276 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ph  ->  ( P `  M
)  =  ( P `
 N ) ) )
7927, 28, 78sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  ( P `  M )  =  ( P `  N ) )
80 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )
8131, 34, 37, 37, 42, 77uzind4 10276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ph  ->  ( P `  (
k  +  1 ) )  =  ( P `
 N ) ) )
8280, 28, 81sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  N ) )
8379, 82eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  ( P `  M )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
8483eleq2d 2350 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  (
k  e.  ( P `
 M )  <->  k  e.  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
851ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  A  C_ 
NN0 )
862ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  B  C_ 
NN0 )
87 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  k  e.  NN0 )
8885, 86, 3, 87smuval 12672 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  (
k  e.  ( A smul 
B )  <->  k  e.  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
8984, 88bitr4d 247 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  (
k  e.  ( P `
 M )  <->  k  e.  ( A smul  B )
) )
90 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
9190nn0zd 10115 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  ZZ )
9291peano2zd 10120 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ )
935nn0zd 10115 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
9493adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
95 uztric 10249 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  1 ) )  \/  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )
9692, 94, 95syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) )  \/  ( k  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  N ) ) )
9726, 89, 96mpjaodan 761 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  e.  ( P `  M
)  <->  k  e.  ( A smul  B ) ) )
9897ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN0  ->  ( k  e.  ( P `  M )  <-> 
k  e.  ( A smul 
B ) ) ) )
9913, 18, 98pm5.21ndd 343 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( P `  M )  <-> 
k  e.  ( A smul 
B ) ) )
10099eqrdv 2281 1  |-  ( ph  ->  ( P `  M
)  =  ( A smul 
B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230  ..^cfzo 10870    seq cseq 11046   sadd csad 12611   smul csmu 12612
This theorem is referenced by:  smupval  12679
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-xor 1296  df-tru 1310  df-had 1370  df-cad 1371  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-dvds 12532  df-bits 12613  df-sad 12642  df-smu 12667
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