MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sn0cld Unicode version

Theorem sn0cld 16843
Description: The closed sets of the topology  { (/) }. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.)
Assertion
Ref Expression
sn0cld  |-  ( Clsd `  { (/) } )  =  { (/) }

Proof of Theorem sn0cld
StepHypRef Expression
1 0ex 4166 . . 3  |-  (/)  e.  _V
2 discld 16842 . . 3  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( Clsd `  ~P (/) )  =  ~P (/) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  ( Clsd `  ~P (/) )  =  ~P (/)
4 pw0 3778 . . 3  |-  ~P (/)  =  { (/)
}
54fveq2i 5544 . 2  |-  ( Clsd `  ~P (/) )  =  (
Clsd `  { (/) } )
63, 5, 43eqtr3i 2324 1  |-  ( Clsd `  { (/) } )  =  { (/) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   ` cfv 5271   Clsdccld 16769
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-top 16652  df-cld 16772
  Copyright terms: Public domain W3C validator