MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sn0cld Unicode version

Theorem sn0cld 16827
Description: The closed sets of the topology  { (/) }. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.)
Assertion
Ref Expression
sn0cld  |-  ( Clsd `  { (/) } )  =  { (/) }

Proof of Theorem sn0cld
StepHypRef Expression
1 0ex 4150 . . 3  |-  (/)  e.  _V
2 discld 16826 . . 3  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( Clsd `  ~P (/) )  =  ~P (/) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  ( Clsd `  ~P (/) )  =  ~P (/)
4 pw0 3762 . . 3  |-  ~P (/)  =  { (/)
}
54fveq2i 5528 . 2  |-  ( Clsd `  ~P (/) )  =  (
Clsd `  { (/) } )
63, 5, 43eqtr3i 2311 1  |-  ( Clsd `  { (/) } )  =  { (/) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   ` cfv 5255   Clsdccld 16753
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-top 16636  df-cld 16756
  Copyright terms: Public domain W3C validator