MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sn0cld Structured version   Unicode version

Theorem sn0cld 17154
Description: The closed sets of the topology  { (/) }. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.)
Assertion
Ref Expression
sn0cld  |-  ( Clsd `  { (/) } )  =  { (/) }

Proof of Theorem sn0cld
StepHypRef Expression
1 0ex 4339 . . 3  |-  (/)  e.  _V
2 discld 17153 . . 3  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( Clsd `  ~P (/) )  =  ~P (/) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  ( Clsd `  ~P (/) )  =  ~P (/)
4 pw0 3945 . . 3  |-  ~P (/)  =  { (/)
}
54fveq2i 5731 . 2  |-  ( Clsd `  ~P (/) )  =  (
Clsd `  { (/) } )
63, 5, 43eqtr3i 2464 1  |-  ( Clsd `  { (/) } )  =  { (/) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   {csn 3814   ` cfv 5454   Clsdccld 17080
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-top 16963  df-cld 17083
  Copyright terms: Public domain W3C validator