MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sncld Structured version   Unicode version

Theorem sncld 17435
Description: A singleton is closed in a Hausdorff space. (Contributed by NM, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
t1sep.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
sncld  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  P  e.  X )  ->  { P }  e.  ( Clsd `  J ) )

Proof of Theorem sncld
StepHypRef Expression
1 haust1 17416 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Fre )
2 t1sep.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
32t1sncld 17390 . 2  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  P  e.  X )  ->  { P }  e.  ( Clsd `  J )
)
41, 3sylan 458 1  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  P  e.  X )  ->  { P }  e.  ( Clsd `  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {csn 3814   U.cuni 4015   ` cfv 5454   Clsdccld 17080   Frect1 17371   Hauscha 17372
This theorem is referenced by:  tgphaus  18146  csscld  19203  clsocv  19204  dvrec  19841  dvexp3  19862  abelth  20357
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-topgen 13667  df-top 16963  df-topon 16966  df-cld 17083  df-t1 17378  df-haus 17379
  Copyright terms: Public domain W3C validator