Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snclseqg Structured version   Unicode version

Theorem snclseqg 18137
 Description: The coset of the closure of the identity is the closure of a point. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
snclseqg.x
snclseqg.j
snclseqg.z
snclseqg.r ~QG
snclseqg.s
Assertion
Ref Expression
snclseqg

Proof of Theorem snclseqg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snclseqg.s . . . 4
21imaeq2i 5193 . . 3
3 tgpgrp 18100 . . . . 5
43adantr 452 . . . 4
5 snclseqg.j . . . . . . . . . 10
6 snclseqg.x . . . . . . . . . 10
75, 6tgptopon 18104 . . . . . . . . 9 TopOn
87adantr 452 . . . . . . . 8 TopOn
9 topontop 16983 . . . . . . . 8 TopOn
108, 9syl 16 . . . . . . 7
11 snclseqg.z . . . . . . . . . . 11
126, 11grpidcl 14825 . . . . . . . . . 10
134, 12syl 16 . . . . . . . . 9
1413snssd 3935 . . . . . . . 8
15 toponuni 16984 . . . . . . . . 9 TopOn
168, 15syl 16 . . . . . . . 8
1714, 16sseqtrd 3376 . . . . . . 7
18 eqid 2435 . . . . . . . 8
1918clsss3 17115 . . . . . . 7
2010, 17, 19syl2anc 643 . . . . . 6
2120, 16sseqtr4d 3377 . . . . 5
221, 21syl5eqss 3384 . . . 4
23 simpr 448 . . . 4
24 snclseqg.r . . . . 5 ~QG
25 eqid 2435 . . . . 5
266, 24, 25eqglact 14983 . . . 4
274, 22, 23, 26syl3anc 1184 . . 3
28 eqid 2435 . . . . 5
2928, 6, 25, 5tgplacthmeo 18125 . . . 4
3018hmeocls 17792 . . . 4
3129, 17, 30syl2anc 643 . . 3
322, 27, 313eqtr4a 2493 . 2
33 df-ima 4883 . . . . 5
34 resmpt 5183 . . . . . . 7
3514, 34syl 16 . . . . . 6
3635rneqd 5089 . . . . 5
3733, 36syl5eq 2479 . . . 4
38 fvex 5734 . . . . . . . . 9
3911, 38eqeltri 2505 . . . . . . . 8
40 oveq2 6081 . . . . . . . . 9
4140eqeq2d 2446 . . . . . . . 8
4239, 41rexsn 3842 . . . . . . 7
436, 25, 11grprid 14828 . . . . . . . . 9
443, 43sylan 458 . . . . . . . 8
4544eqeq2d 2446 . . . . . . 7
4642, 45syl5bb 249 . . . . . 6
4746abbidv 2549 . . . . 5
48 eqid 2435 . . . . . 6
4948rnmpt 5108 . . . . 5
50 df-sn 3812 . . . . 5
5147, 49, 503eqtr4g 2492 . . . 4
5237, 51eqtrd 2467 . . 3
5352fveq2d 5724 . 2
5432, 53eqtrd 2467 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cab 2421  wrex 2698  cvv 2948   wss 3312  csn 3806  cuni 4007   cmpt 4258   crn 4871   cres 4872  cima 4873  cfv 5446  (class class class)co 6073  cec 6895  cbs 13461   cplusg 13521  ctopn 13641  c0g 13715  cgrp 14677   ~QG cqg 14932  ctop 16950  TopOnctopon 16951  ccl 17074   chmeo 17777  ctgp 18093 This theorem is referenced by:  tgptsmscls  18171 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-ec 6899  df-map 7012  df-topgen 13659  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-plusf 14683  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-eqg 14935  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-cls 17077  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-tmd 18094  df-tgp 18095
 Copyright terms: Public domain W3C validator