MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snfi Unicode version

Theorem snfi 6957
Description: A singleton is finite. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.)
Assertion
Ref Expression
snfi  |-  { A }  e.  Fin

Proof of Theorem snfi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1onn 6653 . . . 4  |-  1o  e.  om
2 ensn1g 6942 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  { A }  ~~  1o )
3 breq2 4043 . . . . 5  |-  ( x  =  1o  ->  ( { A }  ~~  x  <->  { A }  ~~  1o ) )
43rspcev 2897 . . . 4  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  { A }  ~~  1o )  ->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x
)
51, 2, 4sylancr 644 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x )
6 snprc 3708 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  <->  { A }  =  (/) )
7 en0 6940 . . . . 5  |-  ( { A }  ~~  (/)  <->  { A }  =  (/) )
8 peano1 4691 . . . . . 6  |-  (/)  e.  om
9 breq2 4043 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( { A }  ~~  x  <->  { A }  ~~  (/) ) )
109rspcev 2897 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  { A }  ~~  (/) )  ->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x
)
118, 10mpan 651 . . . . 5  |-  ( { A }  ~~  (/)  ->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x )
127, 11sylbir 204 . . . 4  |-  ( { A }  =  (/)  ->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x
)
136, 12sylbi 187 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x )
145, 13pm2.61i 156 . 2  |-  E. x  e.  om  { A }  ~~  x
15 isfi 6901 . 2  |-  ( { A }  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x )
1614, 15mpbir 200 1  |-  { A }  e.  Fin
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   {csn 3653   class class class wbr 4039   omcom 4672   1oc1o 6488    ~~ cen 6876   Fincfn 6879
This theorem is referenced by:  fiprc  6958  prfi  7147  tpfi  7148  fnfi  7150  unifpw  7174  ssfii  7188  cantnfp1lem1  7396  infpwfidom  7671  ackbij1lem4  7865  ackbij1lem9  7870  ackbij1lem10  7871  fin23lem21  7981  isfin1-3  8028  axcclem  8099  zornn0g  8148  hashsng  11372  hashunsng  11383  hashprg  11384  hashsnlei  11392  hashxplem  11401  hashmap  11403  hashfun  11405  hashbclem  11406  hashf1lem1  11409  hashf1lem2  11410  hashf1  11411  fsum2dlem  12249  fsumcom2  12253  ackbijnn  12302  incexclem  12311  isumltss  12323  rexpen  12522  2ebits  12654  phicl2  12852  ramub1lem1  13089  acsfn1  13579  acsfiindd  14296  odcau  14931  sylow2alem2  14945  gsumsn  15236  gsumunsn  15237  gsumpt  15238  dprdfid  15268  ablfac1eu  15324  pgpfaclem2  15333  ablfaclem3  15338  psrlidm  16164  psrridm  16165  mvridlem  16180  mplsubrg  16200  mvrcl  16209  mplmon  16223  mplmonmul  16224  mplcoe3  16226  mplcoe2  16227  psrbagsn  16252  psr1baslem  16280  0cmp  17137  discmp  17141  disllycmp  17240  dis1stc  17241  1stckgenlem  17264  ptpjpre2  17291  ptopn2  17295  xkohaus  17363  xkoptsub  17364  ptcmpfi  17520  cfinufil  17639  ufinffr  17640  fin1aufil  17643  alexsubALTlem3  17759  ptcmplem5  17766  tmdgsum  17794  tsmsxplem1  17851  tsmsxplem2  17852  prdsmet  17950  imasdsf1olem  17953  prdsbl  18053  icccmplem1  18343  icccmplem2  18344  ovolsn  18870  ovolfiniun  18876  volfiniun  18920  i1f0  19058  fta1glem2  19568  fta1blem  19570  fta1lem  19703  vieta1lem2  19707  vieta1  19708  aalioulem2  19729  tayl0  19757  radcnv0  19808  wilthlem2  20323  fsumvma  20468  dchrfi  20510  gsumsn2  23393  esumcst  23451  esumsn  23452  hasheuni  23468  derangsn  23716  eupath2lem3  23918  vdegp1ai  23923  vdegp1bi  23924  konigsberg  23926  onsucsuccmpi  24954  bwt2  25695  locfincmp  26407  comppfsc  26410  prdsbnd  26620  heiborlem3  26640  heiborlem8  26645  ismrer1  26665  reheibor  26666  funsnfsup  26865  elrfi  26872  mzpcompact2lem  26932  dfac11  27263  pwslnmlem0  27296  uvcff  27343  lpirlnr  27424  acsfn1p  27610  stoweidlem44  27896  pclfinN  30711
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-1o 6495  df-en 6880  df-fin 6883
  Copyright terms: Public domain W3C validator