MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snfi Unicode version

Theorem snfi 6941
Description: A singleton is finite. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.)
Assertion
Ref Expression
snfi  |-  { A }  e.  Fin

Proof of Theorem snfi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1onn 6637 . . . 4  |-  1o  e.  om
2 ensn1g 6926 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  { A }  ~~  1o )
3 breq2 4027 . . . . 5  |-  ( x  =  1o  ->  ( { A }  ~~  x  <->  { A }  ~~  1o ) )
43rspcev 2884 . . . 4  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  { A }  ~~  1o )  ->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x
)
51, 2, 4sylancr 644 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x )
6 snprc 3695 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  <->  { A }  =  (/) )
7 en0 6924 . . . . 5  |-  ( { A }  ~~  (/)  <->  { A }  =  (/) )
8 peano1 4675 . . . . . 6  |-  (/)  e.  om
9 breq2 4027 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( { A }  ~~  x  <->  { A }  ~~  (/) ) )
109rspcev 2884 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  { A }  ~~  (/) )  ->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x
)
118, 10mpan 651 . . . . 5  |-  ( { A }  ~~  (/)  ->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x )
127, 11sylbir 204 . . . 4  |-  ( { A }  =  (/)  ->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x
)
136, 12sylbi 187 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x )
145, 13pm2.61i 156 . 2  |-  E. x  e.  om  { A }  ~~  x
15 isfi 6885 . 2  |-  ( { A }  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x )
1614, 15mpbir 200 1  |-  { A }  e.  Fin
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   {csn 3640   class class class wbr 4023   omcom 4656   1oc1o 6472    ~~ cen 6860   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  fiprc  6942  prfi  7131  tpfi  7132  fnfi  7134  unifpw  7158  ssfii  7172  cantnfp1lem1  7380  infpwfidom  7655  ackbij1lem4  7849  ackbij1lem9  7854  ackbij1lem10  7855  fin23lem21  7965  isfin1-3  8012  axcclem  8083  zornn0g  8132  hashsng  11356  hashunsng  11367  hashprg  11368  hashsnlei  11376  hashxplem  11385  hashmap  11387  hashfun  11389  hashbclem  11390  hashf1lem1  11393  hashf1lem2  11394  hashf1  11395  fsum2dlem  12233  fsumcom2  12237  ackbijnn  12286  incexclem  12295  isumltss  12307  rexpen  12506  2ebits  12638  phicl2  12836  ramub1lem1  13073  acsfn1  13563  acsfiindd  14280  odcau  14915  sylow2alem2  14929  gsumsn  15220  gsumunsn  15221  gsumpt  15222  dprdfid  15252  ablfac1eu  15308  pgpfaclem2  15317  ablfaclem3  15322  psrlidm  16148  psrridm  16149  mvridlem  16164  mplsubrg  16184  mvrcl  16193  mplmon  16207  mplmonmul  16208  mplcoe3  16210  mplcoe2  16211  psrbagsn  16236  psr1baslem  16264  0cmp  17121  discmp  17125  disllycmp  17224  dis1stc  17225  1stckgenlem  17248  ptpjpre2  17275  ptopn2  17279  xkohaus  17347  xkoptsub  17348  ptcmpfi  17504  cfinufil  17623  ufinffr  17624  fin1aufil  17627  alexsubALTlem3  17743  ptcmplem5  17750  tmdgsum  17778  tsmsxplem1  17835  tsmsxplem2  17836  prdsmet  17934  imasdsf1olem  17937  prdsbl  18037  icccmplem1  18327  icccmplem2  18328  ovolsn  18854  ovolfiniun  18860  volfiniun  18904  i1f0  19042  fta1glem2  19552  fta1blem  19554  fta1lem  19687  vieta1lem2  19691  vieta1  19692  aalioulem2  19713  tayl0  19741  radcnv0  19792  wilthlem2  20307  fsumvma  20452  dchrfi  20494  gsumsn2  23378  esumcst  23436  esumsn  23437  hasheuni  23453  derangsn  23701  eupath2lem3  23903  vdegp1ai  23908  vdegp1bi  23909  konigsberg  23911  onsucsuccmpi  24882  bwt2  25592  locfincmp  26304  comppfsc  26307  prdsbnd  26517  heiborlem3  26537  heiborlem8  26542  ismrer1  26562  reheibor  26563  funsnfsup  26762  elrfi  26769  mzpcompact2lem  26829  dfac11  27160  pwslnmlem0  27193  uvcff  27240  lpirlnr  27321  acsfn1p  27507  stoweidlem44  27793  pclfinN  30089
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-1o 6479  df-en 6864  df-fin 6867
  Copyright terms: Public domain W3C validator