MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snfi Structured version   Unicode version

Theorem snfi 7187
Description: A singleton is finite. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.)
Assertion
Ref Expression
snfi  |-  { A }  e.  Fin

Proof of Theorem snfi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1onn 6882 . . . 4  |-  1o  e.  om
2 ensn1g 7172 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  { A }  ~~  1o )
3 breq2 4216 . . . . 5  |-  ( x  =  1o  ->  ( { A }  ~~  x  <->  { A }  ~~  1o ) )
43rspcev 3052 . . . 4  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  { A }  ~~  1o )  ->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x
)
51, 2, 4sylancr 645 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x )
6 snprc 3871 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  <->  { A }  =  (/) )
7 en0 7170 . . . . 5  |-  ( { A }  ~~  (/)  <->  { A }  =  (/) )
8 peano1 4864 . . . . . 6  |-  (/)  e.  om
9 breq2 4216 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( { A }  ~~  x  <->  { A }  ~~  (/) ) )
109rspcev 3052 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  { A }  ~~  (/) )  ->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x
)
118, 10mpan 652 . . . . 5  |-  ( { A }  ~~  (/)  ->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x )
127, 11sylbir 205 . . . 4  |-  ( { A }  =  (/)  ->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x
)
136, 12sylbi 188 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x )
145, 13pm2.61i 158 . 2  |-  E. x  e.  om  { A }  ~~  x
15 isfi 7131 . 2  |-  ( { A }  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x )
1614, 15mpbir 201 1  |-  { A }  e.  Fin
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2706   _Vcvv 2956   (/)c0 3628   {csn 3814   class class class wbr 4212   omcom 4845   1oc1o 6717    ~~ cen 7106   Fincfn 7109
This theorem is referenced by:  fiprc  7188  prfi  7381  tpfi  7382  fnfi  7384  unifpw  7409  ssfii  7424  cantnfp1lem1  7634  infpwfidom  7909  ackbij1lem4  8103  ackbij1lem9  8108  ackbij1lem10  8109  fin23lem21  8219  isfin1-3  8266  axcclem  8337  zornn0g  8385  hashsng  11647  hashunsng  11665  hashprg  11666  hashsnlei  11680  hashxplem  11696  hashmap  11698  hashfun  11700  hashbclem  11701  hashf1lem1  11704  hashf1lem2  11705  hashf1  11706  fsum2dlem  12554  fsumcom2  12558  ackbijnn  12607  incexclem  12616  isumltss  12628  rexpen  12827  2ebits  12959  phicl2  13157  ramub1lem1  13394  acsfn1  13886  acsfiindd  14603  odcau  15238  sylow2alem2  15252  gsumsn  15543  gsumunsn  15544  gsumpt  15545  dprdfid  15575  ablfac1eu  15631  pgpfaclem2  15640  ablfaclem3  15645  psrlidm  16467  psrridm  16468  mvridlem  16483  mplsubrg  16503  mvrcl  16512  mplmon  16526  mplmonmul  16527  mplcoe3  16529  mplcoe2  16530  psrbagsn  16555  psr1baslem  16583  0cmp  17457  discmp  17461  bwth  17473  disllycmp  17561  dis1stc  17562  1stckgenlem  17585  ptpjpre2  17612  ptopn2  17616  xkohaus  17685  xkoptsub  17686  ptcmpfi  17845  cfinufil  17960  ufinffr  17961  fin1aufil  17964  alexsubALTlem3  18080  ptcmplem5  18087  tmdgsum  18125  tsmsxplem1  18182  tsmsxplem2  18183  prdsmet  18400  imasdsf1olem  18403  prdsbl  18521  icccmplem1  18853  icccmplem2  18854  ovolsn  19391  ovolfiniun  19397  volfiniun  19441  i1f0  19579  fta1glem2  20089  fta1blem  20091  fta1lem  20224  vieta1lem2  20228  vieta1  20229  aalioulem2  20250  tayl0  20278  radcnv0  20332  wilthlem2  20852  fsumvma  20997  dchrfi  21039  cusgrafilem3  21490  eupath2lem3  21701  vdegp1ai  21706  vdegp1bi  21707  konigsberg  21709  gsumsn2  24219  esumcst  24455  esumsn  24456  hasheuni  24475  sibf0  24649  derangsn  24856  fprod2dlem  25304  fprodcom2  25308  onsucsuccmpi  26193  locfincmp  26384  comppfsc  26387  prdsbnd  26502  heiborlem3  26522  heiborlem8  26527  ismrer1  26547  reheibor  26548  funsnfsup  26743  elrfi  26748  mzpcompact2lem  26808  dfac11  27137  pwslnmlem0  27170  uvcff  27217  lpirlnr  27298  acsfn1p  27484  stoweidlem44  27769  cshwssizensame  28289  usgreghash2spotv  28455  pclfinN  30697
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-1o 6724  df-en 7110  df-fin 7113
  Copyright terms: Public domain W3C validator